TikZ：数学：三角形の内接円の半径の求め方

こんにちは。相城です。今回は三角形の内接円の半径の求め方を書いておきます。

例題をやってみよう

3辺の長さが $a=7$ , $b=5$ , $c=8$ で, $A=60^{\circ}$ である三角形ABCに内接する円の半径を求めなさい。

内接円の半径は各辺に垂直

内接円の半径を $r$ とすると, $r$ は次の図のように, 各辺に垂直(接線と接点を通る円の半径のつくる角は $90^{\circ}$ )になります。

方針

上の図の $r$ (赤の線分)を求めるのに, △ABCの面積を求めます。
次に, △ABCの面積は△IAB, △IBC, △ICAの面積の和としても求められます。このとき, $r$ は△IAB, △IBC, △ICAの高さになっているので, この3つの三角形の面積を $r$ を用いて表し,
△IAB $+$ △IBC $+$ △ICA $=$ △ABC
として方程式をつくり, $r$ を求めます。

解説と解答

【解答例】
△ABCの面積 $S$ は
$S=\dfrac12\cdot8\cdot5\sin60^{\circ}=10\sqrt3\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
ここで
△IAB $=\dfrac12\cdot c\cdot r=4r$
△IBC $=\dfrac12\cdot a\cdot r=\dfrac72 r$
△ICA $=\dfrac12\cdot b\cdot r=\dfrac52 r$
$S=$ △IAB $+$ △IBC $+$ △ICA
$S=4r+\dfrac72 r+\dfrac52 r=10r\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\textcircled{\scriptsize1}=\textcircled{\scriptsize2}$ なので,
$10r=10\sqrt3$
$r=\sqrt3$
よって, 内接円の半径は $\sqrt3$

このとき, 今回は分かりやすいように, 3つの三角形(△IAB, △IBC, △ICA)を分けて求めましたが, 理解が深まると, 3つの三角形(△IAB, △IBC, △ICA)の和は次の式で得られます。
$S=\dfrac12 r(a+b+c)$ ・・・(覚えておくと便利)
今回の問題であれば
$S=\dfrac12 r\times(7+5+8)=10r$
計算が少し楽ですね。

流れをつかんでおこう

円に外接する三角形の面積を求める。 $S=\dfrac12 ab\sin\theta\cdots(A)$
内接する円の半径を $r$ (文字)として, 内心と三角形の頂点を結んでできる3つの三角形の和を $r$ (文字)で表す。 $S=\dfrac12 r(a+b+c)\cdots(B)$
$(B)=(A)$ , つまり, $\dfrac12 r(a+b+c)=\dfrac12 ab\sin\theta$ として $r$ を求める。