中学数学：攻略法：図形の角出しテクニック

こんにちは。相城です。今回は簡単なテクニックをご紹介します。角出しというテクニックです。実際に例題を見ながらやっていきましょう。また, 最後に角出しを使った問題をおいておきますので, 実際に解いてみてください。

例題を見てみよう

下の平行四辺形ABCDで, 辺AB, BC, CDの中点をそれぞれ, E, F, Gとし, 対角線BDとEF, AGとの交点をそれぞれP, Qとする。BD $=$ 12cmのとき, BPの長さを求めなさい。

角出しテクニック

この場合, BPを含んだ相似形の三角形がありません。このように求めたい線分を含む相似形がないときは, 以下の赤線部のように角出し(図形の外部にはみだし)をして, BPを含む三角形の相似形(△BFP∽△DHP)をつくります。これが角出しのテクニックになります。こうすることで, BPがいつもの相似形に落ち着き, BPが平易に求められるようになります。

この図では, BF : FC $=$ 1 : 1, なので, AD $=$ 2と考えることができます。
EがABの中点なので, △BFE $\equiv$ △AHE(1組の辺とその両端の角)より,
BF : AH $=$ 1 : 1となる。△BFP∽△DHPであり, その相似比はBF : DH $=$ 1 : 3なので, BP : DP $=$ 1 : 3となる。よって,
$\begin{array}{lll}\text{BP}&=&\dfrac{1}{1+3}\times\text{BD}\\&=&\dfrac14\times12\\&=&3\end{array}$
BP $=$ 3cm
となります。
※もちろんEFとDCの延長線が交わるように角出ししても大丈夫です。