こんにちは。相城です。今回は同じものを含む順列について書いておきますね。
同じものを含む順列について
同じ文字を含む順列とは
同じものが
個,
個,
個で合計
個あるとき, それ全部を1列に並べる順列の総数は,
ただし, ![Rendered by QuickLaTeX.com p+q+r=n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5a542f4f9d1eda682aaeefc59a47682_l3.png)
で計算できます。
![Rendered by QuickLaTeX.com p](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97e4a8097c4e68f73b16f1876e4b819b_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com p+q+r=n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5a542f4f9d1eda682aaeefc59a47682_l3.png)
で計算できます。
例題を見てみよう
【例題】AAABBCの6個の文字を1列に並べる場合, 何通りの並べ方があるか。
この場合, AAAは区別できないため, 並び方はAAAの1通りしかありません。ただ通常の順列では, AAAをA
, A
, A
と区別するためA
A
A
の3つを1列に並べる並べ方の総数
のダブりが生じてしまいます。Bも同様に2つあるので,
通りのダブりが生じます。最後のCは1個なのでダブりは生じません。このように, 上の公式では一旦区別できるものとして, 1列に並べ, その後, ダブりの個数で割って総数を求めていることになります。
したがって, 例題の解答は,
60通りとなります。
並べるけど組合せを使う
上の問題って, 6つの文字を置く場所〇〇〇〇〇〇があって, その中からAを置く場所を3か所選んで, Aを置き, 残った3か所からBを置く場所を2か所選んで, Bを置き, 残ったところにCを置けばいいことになります。置くものは区別でいないので, 置き方は常に1通りに決まります。下図参照。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/01/onajuku3zu1.png)
式で表すと
60通り
※下線部はまさにになっていますね。
それでは。