高校数学：判別式(高1・高2)・2次方程式の解の個数

こんにちは。相城です。判別式について書いておきます。

判別式についてと高1での扱い

中学校のときに二次方程式の解の公式って習いましたよね。こういうやつです。
$ax^2+bx+c=0\ ( a\neq0)$ の解は
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
で求められるというものです。
判別式 $D$ というのはこの解の公式の根号の中の $b^2-4ac$ のことをいいます。
一般に判別式 $D=b^2-4ac$ とします。
この $b^2-4ac$ が正の数なら解の公式の根号の前に $\pm$ という $+$ と $-$ の2つの異なる実数解が存在することになります。また, $b^2-4ac=0$ なら, 根号の前の $\pm$ はなくなるので, 解は $x=-\dfrac{b}{2a}$ の1つになります。
高1では $b^2-4ac$ が負になる場合は扱わないので, $b^2-4ac<0$ のときは, 解なしとして扱います。
このように, $b^2-4ac$ の符号によって, 二次方方程式の解の個数が分かることになります。
【例】次の2次方程式の解の個数を調べなさい。
$x^2-9x+3=0$
$D=(-9)^2-4\cdot1\cdot3=69>0$
異なる2つの実数解・・・2個
$x^2+8x+16=0$
$D=8^2-4\cdot1\cdot16=0$
重解・・・1個
$2x^2+2x+5=0$
$D=2^2-4\cdot2\cdot5=-36<0$
解なし・・・0個

まとめると,

高1での判別式

$D=b^2-4ac>0$ なら異なる2つの実数解
解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$D=b^2-4ac=0$ なら重解
解は $x=-\dfrac{b}{2a}$
$D=b^2-4ac<0$
解なし

高2での判別式の扱い

高2では扱う数の範囲が虚数にまで広がるので, $D=b^2-4ac<0$ の場合は, 異なる2つの虚数解を持つという具合になります。したがって, 高2では $D<0$ の場合の扱いを変更し以下のようになります。

高2での判別式

$D=b^2-4ac>0$ なら異なる2つの実数解
解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$D=b^2-4ac=0$ なら重解
解は $x=-\dfrac{b}{2a}$
$D=b^2-4ac<0$ なら異なる2つの虚数解
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

異なる2つの虚数解の例題(D<0)
$2x^2-3x+5=0$ を解きなさい。
$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot5}}{2\cdot2}$
$x=\dfrac{3\pm\sqrt{-31}}{4}$
$x=\dfrac{3\pm\sqrt{31}i}{4}$ ・・・(答え)

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