高校数学：1/6の積分公式の証明と使い方

こんにちは。相城です。今回は $\dfrac16$ 積分公式についてです。使えると便利ですので是非マスターしてください。

1/6の積分公式

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$=a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$
$=a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\,dx$
$=a \left[\dfrac13 (x-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta}$
$=a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(\beta-\alpha)^2\right\}$
$=a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3-\dfrac12 (\beta-\alpha)^3\right\}$
$=-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$

結果にマイナスが付いているが, 通常面積を求める場合, $a>0$ なら上の左の図のようになり,
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} {0-a(x-\alpha)(x-\beta)}\,dx=\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$
となる。同様に $a<0$ の場合もである。したがって, これらを一般化したのが公式である。 2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ と一次関数 $g(x)=mx+n$ によって囲まれる面積は, 次の $\textcircled{\scriptsize 1}$ の二次方程式で $f(x), g(x)$ の交点を求める。
$ax^2+bx+c=mx+n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
この二次方程式の解を $\alpha, \beta (\alpha<\beta)$ とすると, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は, $a(x-\alpha)(x-\beta)=0$ と変形でき, $f(x)$ と $g(x)$ で囲まれた面積は,
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
で求められることになる。

例題をやってみよう

実際に問題でやってみる。
【例題】直線 $y=\dfrac12 x-\dfrac52$ と, 曲線 $y=x^2-4x+1$ で囲まれる面積を求めなさい。

【解法】
求める面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}\left\{\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac52\right)-(x^2-4x+1)\right\}\,dx$
$=-\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}(x-1)\left(x-\dfrac72\right)\,dx$
$=\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3$
$=\dfrac{125}{48}\cdots$ (答)
答えだけなら,単純に
$S=\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3=\dfrac{125}{48}$
で求まる。

この公式は次のような問題でも使える。
【例題】2つの放物線 $f(x)=x^2-4x+2, g(x)=-x^2+2x-2$ で囲まれる面積を求めなさい。

【解法】
$f(x)=g(x)$ として, 交点を求めると,
$x^2-4x+2=-x^2+2x-2$
$2x^2-6x+4=0$
$2(x-1)(x-2)=0$
$x=1, 2$
したがって,求める面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_{1}^{2}\left\{(-x^2+2x-2)-(x^2-4x+2)\right\}\,dx$
$=-\displaystyle\int_{1}^{2}2(x-1)(x-2)\,dx$
$=\dfrac26(2-1)^3$
$=\dfrac13\cdots$ (答)
答えだけなら,単純に
$S=\dfrac26(2-1)^3=\dfrac13$
で求められる。