emath：高校数学：積分：1/6公式の証明と使い方

こんにちは。相城です。今回は $\dfrac16$ 公式についてです。使えると便利ですので是非マスターしてください。

1/6公式

$\textcolor{white}{\dfrac16}$ 公式とは

積分区間が $\left[\alpha, \beta\right]$ において, $x$ についての2次式が $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できるとき,
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
が成り立つという公式である。

公式の出番と証明

$\dfrac16$ 公式の出番の主な場面を3つ紹介する。
【公式の出番①】
下図のように, 直線 $y=mx+n$ と2次関数 $y=ax^2+bx+c$ が2点A, Bで交わり, 2点A, Bの $x$ 座標が $\alpha, \beta\, (\alpha<\beta)$ とする。このとき, 色のついた部分の面積を求めるのに用いる。

【公式の出番②】
下図のように, 2次関数 $y=sx^2+tx+u$ と2次関数 $y=px^2+qx+r$ が2点A, Bで交わり, 2点A, Bの $x$ 座標が $\alpha, \beta\, (\alpha<\beta)$ とする。このとき, 色のついた部分の面積を求めるのに用いる。

【公式の出番③】
下図のように, $x^3$ の係数が等しい3次関数 $y=Px^3+Qx^2+Rx+S$ と, 3次関数 $y=Px^3+Q'x^2+R'x+S'$ が2点A, Bで交わり, 2点A, Bの $x$ 座標が $\alpha, \beta\, (\alpha<\beta)$ とする。このとき, 色のついた部分の面積を求めるのに用いる。

出番①, ②, ③について, $x$ 座標が $\alpha, \beta$ となる交点を持つということは, それぞれの場合で, 交点を求める方程式をつくると,
① $ax^2+bx+c=mx+n\to a(x-\alpha)(x-\beta)=0$
② $sx^2+tx+u=px^2+qx+r\to a(x-\alpha)(x-\beta)=0$
③ $Px^3+Qx^2+Rx+S=Px^3+Q'x^2+R'x+S'\to a(x-\alpha)(x-\beta)=0$
という具合に因数分解できるはずである。
このことに着目すると, 求める面積 $S$ は次のように考えられる。
出番①を例に $S$ を求めてみると,
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \left\{(mx+n)-(ax^2+bx+c)\right\}\, dx\\&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx \\&=&-a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx\\&=&-a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \left\{(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\right\}\,dx\\&=&-a \left[\dfrac13 (x-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta}\\&=&-a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(\beta-\alpha)^2\right\}\\&=&-a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3-\dfrac12 (\beta-\alpha)^3\right\}\\&=&\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\end{array}$

今回は $a>0$ (イメージとしては上左図)でやってみたが, $a<0$ (イメージとしては上右図)の場合も同様にできるので, 証明は割愛する。出番②に関しても, 2つの放物線の交点を求めるのに, $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できるなら, 上と同じ証明で説明ができるので, これも割愛する。
したがって, $a>0$ , $a<0$ の場合を考慮して, 以下の公式が得られる。
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$

例題をやってみよう

実際に問題でやってみる。
この公式の出番①の例題
【例題】直線 $y=\dfrac12 x-\dfrac52$ と, 曲線 $y=x^2-4x+1$ で囲まれる面積を求めなさい。

【解法】
求める面積 $S$ は
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}\left\{\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac52\right)-(x^2-4x+1)\right\}\,dx\\&=&-\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}(x-1)\left(x-\dfrac72\right)\,dx\\&=&\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3\\&=&\dfrac{125}{48}\end{array}$
答えだけなら,単純に
$S=\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3=\dfrac{125}{48}$
で求まる。
$\dfrac{125}{48}\cdots$ (答)

この公式の出番②の例題
【例題】2つの放物線 $f(x)=x^2-4x+2, g(x)=-x^2+2x-2$ で囲まれる面積を求めなさい。

【解法】
$f(x)=g(x)$ として, 交点を求めると,
$x^2-4x+2=-x^2+2x-2$
$2x^2-6x+4=0$
$2(x-1)(x-2)=0$
$x=1, 2$
したがって,求める面積 $S$ は
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left\{(-x^2+2x-2)-(x^2-4x+2)\right\}\,dx\\&=&-\displaystyle\int_{1}^{2}2(x-1)(x-2)\,dx\\&=&\dfrac26(2-1)^3\\&=&\dfrac13\end{array}$
答えだけなら,単純に
$S=\dfrac26(2-1)^3=\dfrac13$
で求められる。
$\dfrac13\cdots$ (答)