高校数学:1/6の積分公式

こんにちは。相城です。今回は\dfrac16積分公式についてです。

1/6の積分公式

\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx
=a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx
=a \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\,dx
=a \left[\dfrac13 (x-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta}
=a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3+\dfrac12 (\alpha-\beta)(\beta-\alpha)^2\right\}
=a \left\{ \dfrac13 (\beta-\alpha)^3-\dfrac12 (\beta-\alpha)^3\right\}
=-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3


結果にマイナスが付いているが, 通常面積を求める場合, a>0なら上の左の図のようになり,\
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} {0-a(x-\alpha)(x-\beta)}\,dx=\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3
となる。同様にa<0の場合もである。 したがって, これらを一般化したのが公式である。 2次関数f(x)=ax^2+bx+cと一次関数g(x)=mx+nによって囲まれる面積は, 次の\textcircled{\scriptsize 1}の二次方程式でf(x), g(x)の交点を求める。
ax^2+bx+c=mx+n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
この二次方程式の解を\alpha, \beta (\alpha<\beta)とすると, \textcircled{\scriptsize 1}は, a(x-\alpha)(x-\beta)=0と変形でき, f(x)g(x)で囲まれた面積は,
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3
で求められることになる。

例題をやってみよう

実際に問題でやってみる。
例題
直線y=\dfrac12 x-\dfrac52と, 曲線y=x^2-4x+1で囲まれる面積を求めなさい。

解法
求める面積S
S=\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}\left\{\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac52\right)-(x^2-4x+1)\right\}\,dx
=-\displaystyle\int_{1}^{\small{\frac{7}{2}}}(x-1)\left(x-\dfrac72\right)\,dx
=\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3
=\dfrac{125}{48}\cdots(答)
答えだけなら,単純に
S=\dfrac16\left(\dfrac72-1\right)^3=\dfrac{125}{48}
で求まる。

この公式は次のような問題でも使える。
例題
2つの放物線f(x)=x^2-4x+2, g(x)=-x^2+2x-2で囲まれる面積を求めなさい。

解法
f(x)=g(x)として, 交点を求めると,
x^2-4x+2=-x^2+2x-2
2x^2-6x+4=0
2(x-1)(x-2)=0
x=1, 2
したがって,求める面積S
S=\displaystyle\int_{1}^{2}\left\{(-x^2+2x-2)-(x^2-4x+2)\right\}\,dx
=-\displaystyle\int_{1}^{2}2(x-1)(x-2)\,dx
=\dfrac26(2-1)^3
=\dfrac13\cdots(答)
答えだけなら,単純に
S=\dfrac26(2-1)^3=\dfrac13
で求められる。

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