こんにちは。今回は三角関数を含む方程式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。
方程式の考え方
【例①】のとき, 方程式
を解け。
【解法】なので,
の符号は
座標の符号で決まる。この問題では,
が1でない正の数なので,
座標が正の範囲である第1象限と第2象限に答がありそうなことが分かる。この解法として, 単位円を描いて考えるのが一般的?であるが, 私はあの単位円にしたとき, 座標が分数になるのが嫌いなので, 半径2の円を描いて考える。なぜ半径2の円か?それは解いていくと気づくと思うのだが,
が出てくるのは,
の直角三角形で, 斜辺がちょうど2になっているから。そこで,
となる点を見つけて, そこから真横(
軸に平行)に延ばした直線と円との交点が, 同じ
(
座標が同じだから)になる点というわけです。このように,
が
となる点(
座標が
の点)は
の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。
問題の答えは, 図からわかるように,
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac13\pi, \dfrac23\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8058a21baa583e7d7997b0816d90e323_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df36b52cea0081617d2fc178107fe54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac13\pi+2n\pi, \dfrac23\pi+2n\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dcd30fb9680065979ffe4d684329218_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00421fc8499c673b4d993692e2275d72_l3.png)
【例②】のとき, 方程式
を解け。
【解法】なので, その符号は
座標の符号で決まる。この問題では,
の値が
でない負の数なので,
座標が負の範囲である第2象限と第3象限に答がありそうなことが分かる。
も
を考えたときと同様に円を描いて考えるが,
の分子分母に
をかけると
となるので,書く円の半径は
である。こうすることで,
の直角二等辺三角形に帰着できる。そこで,
となる点を1つ見つけて, そこから真縦(
軸に平行)に延ばした直線と円との交点が, 同じ
(
座標が同じだから)になる点というわけです。このように,
が
となる点(
座標が
の点)は
の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。
問題の答えは, 図からわかるように,
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac34\pi, \dfrac54\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51bced181d7816ceab3b29b50d91804d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df36b52cea0081617d2fc178107fe54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac34\pi+2n\pi, \dfrac54\pi+2n\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9225d43429f11a85ca4245c0e2dc0af_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00421fc8499c673b4d993692e2275d72_l3.png)
【例③】のとき, 方程式
を解け。
【解法】で与えられ,
の値が正の数なので,
座標と
座標の符号が一致する第1象限と第3象限に答がありそうなことが分かる。
も同様に円を描いて考える。そこで,
となる点を1つ見つけて, そこから原点(原点対称)の方に延ばした直線と円との交点が, 同じ
(
が同じ値だから)になる点というわけです。このように,
が
となる点は
の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。ちなみに, 描く円の半径は2(
の直角三角形より)である。
問題の答えは, 図からわかるように,
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac16\pi, \dfrac76\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf46546f023270b606bac43ea7211e18_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df36b52cea0081617d2fc178107fe54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\dfrac16\pi+n\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a15896d117a59ea0bf321f6f2ad9187_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00421fc8499c673b4d993692e2275d72_l3.png)