TikZ：高校数学：三角関数を含む方程式①

こんにちは。今回は三角関数を含む方程式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

方程式の考え方

【例①】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ を解け。
【解法】 $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ なので, $\sin\theta$ の符号は $y$ 座標の符号で決まる。この問題では, $\sin\theta$ が1でない正の数なので, $y$ 座標が正の範囲である第1象限と第2象限に答がありそうなことが分かる。この解法として, 単位円を描いて考えるのが一般的？であるが, 私はあの単位円にしたとき, 座標が分数になるのが嫌いなので, 半径2の円を描いて考える。なぜ半径2の円か？それは解いていくと気づくと思うのだが, $\sqrt3$ が出てくるのは, $1 : 2 : \sqrt3$ の直角三角形で, 斜辺がちょうど2になっているから。そこで, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ となる点を見つけて, そこから真横( $x$ 軸に平行)に延ばした直線と円との交点が, 同じ $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ( $y$ 座標が同じだから)になる点というわけです。このように, $\sin\theta$ が $\dfrac{\sqrt3}{2}$ となる点( $y$ 座標が $\sqrt3$ の点)は $\theta$ の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。

問題の答えは, 図からわかるように, $\theta=\dfrac13\pi, \dfrac23\pi$ となる。
$\theta$ に範囲がなければ,
$\theta=\dfrac13\pi+2n\pi, \dfrac23\pi+2n\pi$ 　 $(n$ は整数)となる。

【例②】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ を解け。
【解法】 $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ なので, その符号は $x$ 座標の符号で決まる。この問題では, $\cos\theta$ の値が $-1$ でない負の数なので, $x$ 座標が負の範囲である第2象限と第3象限に答がありそうなことが分かる。 $\cos\theta$ も $\sin\theta$ を考えたときと同様に円を描いて考えるが, $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ の分子分母に $\sqrt2$ をかけると $-\dfrac{1}{\sqrt2}$ となるので,書く円の半径は $\sqrt2$ である。こうすることで, $1 : 1 : \sqrt2$ の直角二等辺三角形に帰着できる。そこで, $\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ となる点を1つ見つけて, そこから真縦( $y$ 軸に平行)に延ばした直線と円との交点が, 同じ $-\dfrac{1}{\sqrt2}$ ( $x$ 座標が同じだから)になる点というわけです。このように, $\cos\theta$ が $-\dfrac{1}{\sqrt2}$ となる点( $x$ 座標が $-1$ の点)は $\theta$ の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。

問題の答えは, 図からわかるように, $\theta=\dfrac34\pi, \dfrac54\pi$ となる。
$\theta$ に範囲がなければ,
$\theta=\dfrac34\pi+2n\pi, \dfrac54\pi+2n\pi$ 　 $(n$ は整数)となる。

【例③】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}$ を解け。
【解法】 $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ で与えられ, $\tan\theta$ の値が正の数なので, $x$ 座標と $y$ 座標の符号が一致する第1象限と第3象限に答がありそうなことが分かる。 $\tan\theta$ も同様に円を描いて考える。そこで, $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}$ となる点を1つ見つけて, そこから原点(原点対称)の方に延ばした直線と円との交点が, 同じ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ 　( $\dfrac{y}{x}$ が同じ値だから)になる点というわけです。このように, $\tan\theta$ が $\dfrac{1}{\sqrt3}$ となる点は $\theta$ の範囲内に2つ(下図の赤い印)ある。ちなみに, 描く円の半径は2( $1 : 2 : \sqrt3$ の直角三角形より)である。