TikZ:高校数学:三角関数を含む不等式①

こんにちは。今回は三角関数を含む不等式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

不等式の考え方

【例①】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\sin\theta\geqq\dfrac{\sqrt3}{2}を解け。
【解法】\sin\theta=\dfrac{y}{r}で求められる。不等式も方程式同様に円を描いて考えるのだが, 円なので動径rは常に一定で正の数なので, \sin\thetaの大きさはy座標で決まる。このことに着眼すれば意外と平易に解ける。
今回半径2の円を描いてみると, y=\sqrt3となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径が2であることを考慮すれば, y座標が\sqrt3より大きくなるのは色を付けた範囲である。

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したがって, 求める\thetaの範囲は, \dfrac13\pi\leqq \theta\leqq\dfrac23\pi

【例②】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\cos\theta>-\dfrac{\sqrt2}{2}を解け。
【解法】\cos\theta=\dfrac{x}{r}で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 円なので動径rは常に一定で正の数なので, \cos\thetaの大きさはx座標で決まる。問題では, -\dfrac{\sqrt2}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt2}なので,半径\sqrt2の円を描いてみると, x=-1となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径が\sqrt2で一定なので, x座標が-1より大きくなる範囲を考えると, 色を付けた範囲になる。

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したがって, 求める\thetaの範囲は, 0\leqq \theta<\dfrac34\pi, \dfrac54\pi<\theta<2\pi

【例③】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\tan\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt3}を解け。
【解法】\tan\theta=\dfrac{y}{x}で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 今回は動径rは関係ない。\tan\thetaの大きさはx座標とy座標で決まる。x座標を固定して考える方法もあるが, 今回は円周上で考えてみようと思う。円周上を動くとき, x座標がy軸に近づけばy座標の絶対値は大きくなり, x座標の絶対値は小さくなります。このことは, \tan\theta=\dfrac{y}{x}で分母が大きく, 分子が小さいということを意味するので, \tan\thetaの絶対値は大きくなります。ただ, 分母が0 (x座標が0)になることはありません。また, 反対にx座標がx軸に近づくとき, \tan\theta=\dfrac{y}{x}の値は0に近づいていき, 最終的に0になります。この基本事項を押さえた上で話をすると, 問題では, \dfrac{1}{\sqrt3}なので,半径2の円を描いてみると, \tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}となる点は下図の赤い点のところである。このとき, \tan\theta\dfrac{1}{\sqrt3}以上になるところは, x座標, y座標の符号も考慮すると, 色を付けた範囲になります。

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したがって, 求める\thetaの範囲は, \dfrac16\pi\leqq \theta<\dfrac12\pi, \dfrac76\pi\leqq\theta<\dfrac32\pi

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