こんにちは。今回は三角関数を含む不等式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。
不等式の考え方
【例①】のとき, 方程式を解け。
【解法】で求められる。不等式も方程式同様に円を描いて考えるのだが, 円なので動径は常に一定で正の数なので, の大きさは座標で決まる。このことに着眼すれば意外と平易に解ける。
今回半径2の円を描いてみると, となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径が2であることを考慮すれば, 座標がより大きくなるのは色を付けた範囲である。
したがって, 求めるの範囲は,
【例②】のとき, 方程式を解け。
【解法】で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 円なので動径は常に一定で正の数なので, の大きさは座標で決まる。問題では, なので,半径の円を描いてみると, となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径がで一定なので, 座標がより大きくなる範囲を考えると, 色を付けた範囲になる。
したがって, 求めるの範囲は,
【例③】のとき, 方程式を解け。
【解法】で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 今回は動径は関係ない。の大きさは座標と座標で決まる。座標を固定して考える方法もあるが, 今回は円周上で考えてみようと思う。円周上を動くとき, 座標が軸に近づけば座標の絶対値は大きくなり, 座標の絶対値は小さくなります。このことは, で分母が大きく, 分子が小さいということを意味するので, の絶対値は大きくなります。ただ, 分母が0 (座標が0)になることはありません。また, 反対に座標が軸に近づくとき, の値は0に近づいていき, 最終的に0になります。この基本事項を押さえた上で話をすると, 問題では, なので,半径の円を描いてみると, となる点は下図の赤い点のところである。このとき, が以上になるところは, 座標, 座標の符号も考慮すると, 色を付けた範囲になります。
したがって, 求めるの範囲は,