TikZ:高校数学:三角関数を含む方程式②

こんにちは。今回は三角関数を含む方程式の第2弾ということでいきます。例題を解きながら見ていきます。

θの範囲に注意する

【例①】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\sin\left(\theta-\dfrac13\pi\right)=-\dfrac{1}{2}を解け。
【解法】基本的な考え方は方程式①の解き方でいいのですが, \thetaの範囲が少々複雑です。
\theta-\dfrac13\piの範囲で答えを考えなくてはいけないので, 問題にある, 0\leqq \theta<2\piの各辺から\dfrac13\piを引くと, -\dfrac13\pi\leqq\theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\piとなり, この範囲で, 解を考えることになります。ここで, \theta-\dfrac13\pi=tと置くと, \sin t=-\dfrac12, -\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac53\piとなり, 従来の解き方に帰着します。tの範囲から, t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\piとなり, tを元に戻して,
\theta-\dfrac13\pi=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi
右辺に\dfrac13\piを移行して,
\theta=\dfrac16\pi, \dfrac32\pi\cdots(答)

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【例②】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\sin\left(2\theta-\dfrac13\pi\right)=-\dfrac{1}{2}を解け。
【解法】この場合, 上と異なるのは\thetaの範囲になる。2\theta-\dfrac13\piとなっているので, 問題の0\leqq \theta<2\piの範囲をそれに合わせるために, 各辺2倍して-\dfrac13\piを加えると, -\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\piとなり, この範囲で解を考えることになる。
2\theta-\dfrac13\pi=tとして,
\sin t=-\dfrac12, -\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac{11}{3}\piとすると,
上の図から, この範囲で解を求めると,
t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi
tを元に戻して,
\theta-\dfrac13\pi=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi
右辺に\dfrac13\piを移行して,
\theta=\dfrac16\pi, \dfrac32\pi, \dfrac{13}{6}\pi, \dfrac72\pi\cdots(答)

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