TikZ：高校数学：三角関数を含む不等式②

こんにちは。今回は三角関数の不等式の第2弾ということで書いておきます。例題を解きながら見ていきますね。

θの範囲に注意する

【例①】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\left(\theta-\dfrac13\pi\right)\leqq-\dfrac{1}{2}$ を解け。
【解法】基本的な解き方は不等式①の解き方でいいのですが, $\theta-\dfrac13\pi$ の部分が少々複雑です。 $\theta-\dfrac13\pi$ の範囲で答えを考えなくてはいけないので, 問題にある, $0\leqq \theta<2\pi$ の各辺から $\dfrac13\pi$ を引くと, $-\dfrac13\pi\leqq\theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\pi$ となり, この範囲で, 解を考えることになります。ここで, $\theta-\dfrac13\pi=t$ と置くと, $\sin t\leqq-\dfrac12$ ,　 $-\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac53\pi$ となり, 従来の解き方に帰着します。 $t$ の範囲から, $\sin t=-\dfrac12$ となる $t$ の値は, $t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi$ となり, $\sin\theta$ の値の大小は $y$ 座標が決めるので, それより小さい範囲を考える。 $t$ の範囲が $-\dfrac13\pi$ (下図赤線部)からということを考えると, 下図で色分けした部分が求める範囲になる。
したがって, $t$ の範囲は, $-\dfrac13\pi\leqq t\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq t<\dfrac53\pi$
$t$ を元に戻して,
$-\dfrac13\pi\leqq \theta-\dfrac13\pi \leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq \theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\pi$
よって,
$0\leqq\theta\leqq\dfrac16\pi, \dfrac32\pi\leqq\theta<2\pi\cdots$ (答)

【例②】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\left(2\theta-\dfrac13\pi\right)\leqq-\dfrac{1}{2}$ を解け。
【解法】この場合, 上と異なるのは $2\theta-\dfrac13\pi$ の部分になる。 $2\theta-\dfrac13\pi$ となっているので, 問題の $0\leqq \theta<2\pi$ の範囲をそれに合わせるために, 各辺2倍して $-\dfrac13\pi$ を加えると, $-\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\pi$ となり, この範囲で解を考えることになる。 $2\theta-\dfrac13\pi=t$ と置くと, $\sin t\leqq-\dfrac12$ ,　 $-\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac{11}{3}\pi$ となり, 従来の解き方に帰着します。この範囲で, $\sin t=-\dfrac12$ となる $t$ の値を求めると, 下図から, $t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi$ となり, $y$ 座標がそれより, 小さくなる範囲は下図の緑の範囲である。 $t$ の範囲が $-\dfrac13\pi$ (下図赤線部)からということを考えると, 下図で色分けした黄色と緑色部分が求める範囲になる。
したがって, $t$ の範囲は, $-\dfrac13\pi\leqq t\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq t\leqq\dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi t<\dfrac{11}{3}\pi$
$t$ を元に戻して,
$-\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi\leqq\dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi \leqq2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\pi$
これを解いて,
$0\leqq\theta\leqq\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi\leqq\theta<\pi\cdots$ (答)

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