TikZ:高校数学:三角関数を含む不等式②

こんにちは。今回は三角関数の不等式の第2弾ということで書いておきます。例題を解きながら見ていきますね。

θの範囲に注意する

【例①】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\sin\left(\theta-\dfrac13\pi\right)\leqq-\dfrac{1}{2}を解け。
【解法】基本的な解き方は不等式①の解き方でいいのですが, \theta-\dfrac13\piの部分が少々複雑です。\theta-\dfrac13\piの範囲で答えを考えなくてはいけないので, 問題にある, 0\leqq \theta<2\piの各辺から\dfrac13\piを引くと, -\dfrac13\pi\leqq\theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\piとなり, この範囲で, 解を考えることになります。ここで, \theta-\dfrac13\pi=tと置くと, \sin t\leqq-\dfrac12, -\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac53\piとなり, 従来の解き方に帰着します。tの範囲から, \sin t=-\dfrac12となるtの値は, t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\piとなり, \sin\thetaの値の大小はy座標が決めるので, それより小さい範囲を考える。 tの範囲が-\dfrac13\pi(下図赤線部)からということを考えると, 下図で色分けした部分が求める範囲になる。
したがって, tの範囲は, -\dfrac13\pi\leqq t\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq t<\dfrac53\pi
tを元に戻して,
-\dfrac13\pi\leqq \theta-\dfrac13\pi \leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq \theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\pi
よって,
0\leqq\theta\leqq\dfrac16\pi, \dfrac32\pi\leqq\theta<2\pi\cdots(答)

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【例②】0\leqq \theta<2\piのとき, 方程式\sin\left(2\theta-\dfrac13\pi\right)\leqq-\dfrac{1}{2}を解け。
【解法】この場合, 上と異なるのは2\theta-\dfrac13\piの部分になる。2\theta-\dfrac13\piとなっているので, 問題の0\leqq \theta<2\piの範囲をそれに合わせるために, 各辺2倍して-\dfrac13\piを加えると, -\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\piとなり, この範囲で解を考えることになる。2\theta-\dfrac13\pi=tと置くと, \sin t\leqq-\dfrac12, -\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac{11}{3}\piとなり, 従来の解き方に帰着します。この範囲で, \sin t=-\dfrac12となるtの値を求めると, 下図から, t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\piとなり, y座標がそれより, 小さくなる範囲は下図の緑の範囲である。tの範囲が-\dfrac13\pi(下図赤線部)からということを考えると, 下図で色分けした黄色と緑色部分が求める範囲になる。
したがって, tの範囲は, -\dfrac13\pi\leqq t\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq t\leqq\dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi t<\dfrac{11}{3}\pi
tを元に戻して,
-\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi\leqq-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi\leqq\dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi \leqq2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\pi
これを解いて,
0\leqq\theta\leqq\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi\leqq\theta<\pi\cdots(答)

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