TikZ：高校数学：三角関数を含む方程式・不等式③

こんにちは。今回は三角関数を含む方程式の第3弾ということで書いていきます。例題を解きながら見ていきます。

sinかcosに統一して解く

【例①】 $0\leqq\theta<2\pi$ のとき, $2\sin^2\theta-5\sin\theta+3=0$ を解け。
【解法】問題の $\theta$ の範囲では, $\sin\theta$ のとる値の範囲は, $-1\leqq\sin\theta\leqq1$ であることを念頭に入れて解いていく。問題の方程式の左辺を因数分解すると,
$\left(\sin\theta-3\right)\left(2\sin\theta-1\right)=0$
となり,
$\sin\theta=3, \dfrac12$ となるが, $\sin\theta$ のとる値の範囲から, 3になることはなので, これは不適。
したがって求める $\theta$ の値は,
$\sin\theta=\dfrac12$ のときである。
よって, $\theta$ の解は
$\theta=\dfrac16\pi, \dfrac56\pi\cdots$ (答)

【例②】 $0\leqq\theta<2\pi$ のとき, $\sin^2\theta-\cos^2\theta+\sin\theta<0$ を解け。
【解法】 $\sin, \cos$ をともに含む場合は $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ の関係など用いて, $\sin, \cos$ のどちらか1つの方程式に書き換えるのが定石である。ここでは, 2乗の項の他に $\sin\theta$ があるので, $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ として $\sin\theta$ だけで書き換えることにすると,
$\sin^2\theta-\left(1-\sin^2\theta\right)+\sin\theta<0$
$2\sin^2\theta+\sin\theta-1<0$
左辺を因数分解して,
$\left(\sin\theta+1\right)\left(2\sin\theta-1\right)<0$
$-1<\sin\theta<\dfrac12$
$0\leqq\theta<2\pi$ において, この範囲を求めると, $\sin\theta=-1$ は含まないので, それに注意すると, 下図で色分けしている緑色, 黄色, 赤色の3つの範囲になる。
よって,
$0<\theta<\dfrac16\pi, \dfrac56\pi<\theta<\dfrac32\pi, \dfrac32\pi<\theta<2\pi\cdots$ (答)

【例③】 $0\leqq\theta<2\pi$ のとき, $-2\sin^2\theta-5\cos\theta+4<0$ を解け。
【解法】2乗の項 $-2\sin^2\theta$ 以外に $\cos\theta$ があるので, $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を使って, $\cos\theta$ だけで書き換えることにすると,
$-2\left(1-\cos^2\theta\right)-5\cos\theta+4<0$
$2\cos^2-5\cos\theta+2<0$
左辺を因数分解して,
$\left(\cos\theta-2\right)\left(2\cos\theta-1\right)<0$
ここで, $\cos\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲で, $-1\leqq\cos\theta\leqq1$ の範囲の値をとるので, 因数 $\cos\theta-2$ の符号は常に負となる。また問題で, 左辺の符号は負なので, このことから, もう一方の因数の $2\cos\theta-1$ の符号は正になることが条件になる。
したがって,
$2\cos\theta-1>0$ が求める範囲になる。
つまり, $\cos\theta>\dfrac12$
よって, 求める範囲は,
$0\leqq\theta<\dfrac13\pi, \dfrac53\pi<\theta<2\pi\cdots$ (答)

sin,cosが混合する場合

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ などを使って, $\sin\theta$ または $\cos\theta$ だけの方程式にして解く。
その際, $\theta$ の範囲から $\sin\theta$ , または, $\cos\theta$ の取りうる値の範囲の考慮を忘れないこと。

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