高校数学：私が感動した積分の解法

2021年6月20日2021年8月14日

こんにちは。高校のとき勉強していて感動した解法をお伝えします。

置換積分しない

さて, 今回は私が感動した数学の解法を少しご紹介。
私が高校生のとき,　少し熱を入れて勉強していたのが数学でした。
そのとき出会ったエレガントな解法を1つ紹介します。次の積分の解法です。
$\displaystyle\int^1_0x\sqrt{1+x}\,dx$
たいていの方は, $\sqrt{1+x}=t$ と置いて置換積分されるのではないでしょうか？
以下の解法を見たときに, オォっと感動したのを今でも覚えています。でも, ここのサイトでは使ってないかも(笑)
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^1_0x\sqrt{1+x}\,dx&=&\displaystyle\int^1_0\left\{(1+x)-1\right\}\sqrt{1+x}\,dx\\&=&\displaystyle\int^1_0\left\{(1+x)\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x}\right\}\,dx\\&=&\displaystyle\int^1_0\left\{(1+x)^{\frac{3}{2}}-(1+x)^{\frac{1}{2}}\right\}\,dx\\&=&\left[\dfrac25(1+x)^{\frac{5}{2}}-\dfrac23(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]^{1}_{0}\\&=&\dfrac{4\left(\sqrt{2}+1\right)}{15}\end{array}$
どうですか？
感動しましたでしょうか。

＊あくまで個人の感想です。なんて書いたら通販と間違えられそうですが(笑)。

少なくともこの解法に目からうろこ, 感動した1人は間違いなく私です。
かしこ。
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