高校数学：少なくとも1つの実数解を持つとは

こんにちは。今回は少なくとも1つの実数解を持つとはどんなことか見ておきます。

グラフがx軸と交わること

関数 $f(x)$ が最高次数が奇数の関数で係数が実数ならば, 少なくとも一つは実数解をもつ。このことは, 微積分でこの性質を使って解法するときがあります。実際どうなんでしょう。

このように, 最高次数が偶数では $x$ 軸との交点が存在しない場合が出てきます。ここで, 確認ですが, 関数 $f(x)$ が $x$ 軸との交点をもつということは, $f(x)=0$ となる $x$ が存在するということです。ここでは, 最高次数が奇数なら
$f(x)=0$ となる $x$ が最低一つは存在するという確認です。
ここで,
$f(x)=ax^{2n-1}+bx^{2n-2}+cx^{2n-3}+\cdots+z x^{0}\ (a>0,\ n$ は自然数)
とおくとき,
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty,\ \ \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
である。またグラフは連続関数であるから, 中間値の定理より $f(x)=0$ となる $x$ が少なくとも一つは存在することが分かる。
ちなみに, 最高次数が偶数なら,
$f(x)=ax^{2n}+bx^{2n-1}+cx^{2n-2}+\cdots+z x^{0}\ (a>0,\ n$ は自然数)
とおくとき,
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty,\ \ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\infty$
となり, $f(x)<0$ となる $x$ を確認できない。