TikZ:中学数学:√a+√b≠√a+bの理由

こんにちは。今回は\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}\neq\sqrt{\mathstrut a+b}となる理由を書いておきます。

√5+√3=√8ではない

まず, 代数的に見ていきましょう。
\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}=\sqrt{\mathstrut a+b}が成り立つなら,
両辺2乗しても成り立つので, 両辺を2乗すると,
左辺=\left(\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}\right)^2
=a+b+2\sqrt{ab}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
右辺=\left(\sqrt{a+b}\right)^2
=a+b\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
このとき, \textcircled{\scriptsize 1}\neq\textcircled{\scriptsize 2}
よって, \sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}=\sqrt{\mathstrut a+b}とはならない。
つまり, \sqrt5+\sqrt3=\sqrt8ではない。

幾何的に\sqrt5+\sqrt3=\sqrt8とはならないことを見てみましょう。
下図のように, 面積が5cm^2の正方形ABCDと面積が3cm^2の正方形DCEFがくっついて並んでいる。このとき, BEを1辺とする正方形HBEGの面積を考える。

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正方形ABCDの1辺は\sqrt5cmで, 正方形DCEFの1辺は\sqrt3cmになるので, 正方形HBEGの1辺は\sqrt5+\sqrt3(cm)になる。仮に\sqrt5+\sqrt3=\sqrt8が成り立つとすると, 正方形HBEGの面積は\sqrt8\times\sqrt8=8cm^2となるが, すでに, 正方形ABCDと正方形DCEFで面積は8cm^2になっており, これはあり得ない。このことからも, \sqrt5+\sqrt3=\sqrt8とはならないことがわかる。
したがって, \sqrt5+\sqrt3=\sqrt8としてはいけない。

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