高校数学：ベクトル・直線への垂線の足の座標

こんにちは。定点からの直線へ下ろした垂線の足の座標とその垂線の長さを求めてみます。例題を追っていていきましょう。

例題を見ていこう

【例】点A $( 4, 3 )$ から直線 $3x-y-1=0$ に垂線を引き, その交点をHとする。点Hの座標と線分AHの長さを求めよ。
【解法】直線上の座標HをH $(p, q)$ とすると,
$3p-q-1=0\cdots\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ が成り立つ。また,
$\overrightarrow{\text{AH}}=(p-4, q-3)$ とおける。
ここで, この直線の法線ベクトルは $(3, -1)$ であることから, これを $\overrightarrow{\text{L}}$ とすると,
$\overrightarrow{\text{AH}}//\overrightarrow{\text{L}}$ であるから,
$\overrightarrow{\text{AH}}$ は次のようにおける。
$\overrightarrow{\text{AH}}=k\overrightarrow{\text{L}}$
よって,
$(p-4, q-3)=k(3, -1)$
これより,
$p-4=3k$ , $q-3=-k$
これを $p, q$ について解くと,
$p=3k+4$ , $q=-k+3$
これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入して,
$3(3k+4)-(-k+3)-1=0$
$10k+8=0$
$k=-\dfrac45$
これから, Hの座標 $p, q$ を求めると,
$p=3\cdot\left(-\dfrac45\right)+4=\dfrac85$
$q=-\left(-\dfrac45\right)+3=\dfrac{19}{5}$
H $\left(\dfrac85, \dfrac{19}{5}\right)$
$\overrightarrow{\text{AH}}=k(3, -1)=-\dfrac45(3, -1)$
よって,
$\text{AH}=\dfrac45\sqrt{3^2+(-1)^2}=\dfrac45\sqrt{10}$
以上より
H $\left(\dfrac85, \dfrac{19}{5}\right)$
$\text{AH}=\dfrac45\sqrt{10}$