高校数学：最大公約数が7で最小公倍数が126の自然数a, b

こんにちは。タイトル通りの問題を見ていきましょう。ついでに追加例題も見ていきましょう。

例題を見ていこう

【例】最大公約数が7で, 最小公倍数が126の自然数 $a, b\ (a>b)$ をすべて求めよ。
【解法】求める自然数 $a, b$ を
$a=7m$ , $b=7n$ とおく。( $m$ , $n$ は互いに素 $m>n$ )
このとき, 最小公倍数は $7mn$ なので, これが126に等しいので,
$7mn=126$
$mn=18$
$m$ , $n$ が互いに素の関係なので, $m>n$ に注意して $(m ,n)$ の組を求めると,
$(m, n)=(18, 1), (9, 2)$
よって, $(a, b)$ の組み合わせは,
$(a, b)=(126, 7), (63, 14)$

例題を見ていこう

【例】自然数 $a, b\ (a>b)$ があって, 最大公約数が13で, 2数の和が156である。これを満たす $a, b$ をすべて求めよ。
【解法】求める自然数 $a, b$ を
$a=13m$ , $b=13n$ とおく。( $m$ , $n$ は互いに素 $m>n$ )
このとき, 2数の和は $13m+13n$ なので, これが156に等しいので,
$13m+13n=156$
両辺13で割って,
$m+n=12$
$m$ , $n$ が互いに素の関係なので, $m>n$ に注意して $(m ,n)$ の組を求めると,
$(m, n)=(11, 1), (7, 5)$
よって, $(a, b)$ の組み合わせは,
$(a, b)=(143, 13), (91, 65)$

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