高校数学:曲線上にない点からの接線の解法

こんにちは。今回は2次関数の接線の問題で, 曲線上にない点からの接線の問題を扱っていきます。解法は数3でも利用できますので, しっかり学んでください。それでは例題を解きながら見ていきましょう。

解法の流れを掴もう

【例】2次関数f(x)=x^2+3に点(1, 0)から引ける接線の方程式をすべて求めよ。
【解法】まず(1, 0)が2次関数のグラフ上にないので, 接点を(t, t^2+3)とおく。
次にf(x)xで微分して, f'(x)=2xとなるので, 求める接線の方程式は,
y=2t(x-t)+t^2+3
となります。
これが, ( 1, 0 )を通るので, 代入すると
0=2t(1-t)+t^2+3
0=-t^2+2t+3
t^2-2t-3=0
(t-3)(t+1)=0
t=3, -1
t=3のとき,
y=6(x-3)+12より,
y=6x-6
t=-1のとき,
y=-2(x+1)+4より,
y=-2x+2
以上より,
求める接線の式は, y=6x-6,\ y=-2x+2\cdots(答)

3次関数の場合も流れは同じ

【例】3次関数f(x)=x^3+3xの接線で点\left(\dfrac13, 0\right)を通るものを求めよ。
【解法】解法の流れは先と同じです。
まず与えられた座標は3次関数のグラフ上の点ではありません。そこで接点を(t, t^3+3t)とおく。
f(x)xで微分して, f'(x)=3x^2+3となるので, 求める接線の方程式は,
\begin{array}{lll}y&=&(3t^2+3)(x-t)+t^3+3t\\&=&(3t^2+3)x-2t^3\cdots\maru{1}\end{array}
\maru{1}\left(\dfrac13, 0\right)を通るので, 代入すると
0=(3t^2+3)\times\dfrac13-2t^3
0=t^2+1-2t^3
2t^3-t^2-1=0\cdots\maru2
この3次方程式は, 因数定理よりt=1のとき, \maru{2}の左辺は0になるので, 左辺は(t-1)を因数に持つ。
よって,
(t-1)(2t^2+t+1)=0と因数分解できるが, 2t^2+t+1=0は実数解を持たない。
よって, 求める接線はt=1のときだけとなる。したがって, t=1\maru{1}に代入して,
y=6x-2\cdots(答)
今回は\maru{2}の3次方程式の実数解が1つしかなかったが, 異なる実数解が3つある場合は接線は3本あることが知れると思う。

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