TikZ：高校数学：数C複素数：αのn乗根の求め方

こんにちは。今回は複素数の問題で $\alpha$ の $n$ 乗根の求め方について書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

αのn乗根を求めよう

【例】1の6乗根を求めよ。
【解法】求める複素数を
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおく。ただし, $( r>0, 0\leqq\theta<2\pi)$ 。
このとき, $z$ を6乗すると,
$\begin{array}{lll}z^6&=&\left\{r( \cos\theta+i\sin\theta)\right\}^6\\&=&r^6(\cos6\theta+i\sin6\theta)\cdots\maru1\end{array}$
ここで, 1を極形式で表すと,
$1=1\cdot(\cos0+i\sin0)\cdots\maru2$
$\maru1=\maru2$ なので,
$r^6(\cos6\theta+i\sin6\theta) = 1\cdot(\cos0+i\sin0)$
これより,
$r^6=1$
$6\theta=0+2k\pi$ ( $k$ は整数)
$r>0$ より, $r=1$
$0\leqq\theta<2\pi$ より, $0\leqq6\theta<12\pi$ なので, $0\leqq2k\pi<12\pi$ 。これを満たす $k$ の値は, $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$
このとき $\theta$ は,
$6\theta=0$ , $6\theta=2\pi$ , $6\theta=4\pi$ , $6\theta=6\pi$ , $6\theta=8\pi$ , $6\theta=10\pi$ となるので,
$\theta=0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2}{3}\pi, \pi, \dfrac{4}{3}\pi, \dfrac{5}{3}\pi$
したがって求める複素数は,
$\begin{array}{lll}1& : &1(\cos0+i\sin0)\\\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i& :& 1\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\\-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i &: &1\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi+i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right)\\-1& : &1(\cos\pi+i\sin\pi)\\ -\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i& :& 1\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi+i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right)\\\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i& : &1\left(\cos\dfrac{5}{3}\pi+i\sin\dfrac{5}{3}\pi\right)\end{array}$
(答)　 $1$ , $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ , $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ , $-1$ , $-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ , $\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$
複素数平面上で解の配置を見ると正六角形になっています。

n乗根の求め方

$\maru1$ $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 　ただし, $(r>0, 0\leqq\theta<2\pi)$ とおく。
$\maru2$ $z^n$ を $\maru1$ を用いて極形式で表す。
$\maru3$ $z^n=\alpha$ の $\alpha$ を極形式で表す。
$\maru4$ $\maru2=\maru3$ として, (極形式)＝(極形式)とする。
$\maru5$ $\maru4$ で絶対値と偏角を比べ求める。偏角は $2\pi$ の整数倍を加えるのを忘れずに。
$\maru6$ $\maru5$ で求めた絶対値と偏角を用いて $z$ を求める。

n乗根の解の配置

$n$ 乗根の解の配置は複素数平面上で正 $n$ 角形をつくる。

最後に例題をもう一題やって終わりにしましょう。
【例】 $z^3=8i$ を満たす複素数 $z$ を求めよ。
【解法】
上の流れに沿ってみましょう。
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおく。ただし, $r>0, 0\leqq\theta<2\pi$
$z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$
$8i=8\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$
$r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)= 8\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$
$r^3=8$ より, $r=2$
$3\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$
$0\leqq\theta<2\pi$ なので, $0\leqq3\theta<6\pi$ より, $0\leqq\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<6\pi$ 。
これを満たす $k$ は $k=0, 1, 2$
このとき, $\theta$ を求めると,
$\theta=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5}{6}\pi, \dfrac{3}{2}\pi$
よって求める複素数 $z$ は,
$2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+i$
$2\left(\cos\dfrac{5}{6}\pi+i\sin\dfrac{5}{6}\pi\right)=-\sqrt{3}+i$
$2\left(\cos\dfrac{3}{2}\pi+i\sin\dfrac{3}{2}\pi\right)=-2i$
以上より
(答)　 $\sqrt{3}+i , -\sqrt{3}+i , -2i$
複素数平面上で解の配置を見ると正三角形になっています。

αのn乗根を求めよう

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