emath：高校数学：ベクトル・4点の座標がわかる四面体の体積の求積

こんにちは。今回は空間における4点の座標がわかる場合の四面体の体積を求めてみたいと思います。例題を解きながら見ていきます。

例題を見てみよう(ベクトルと四面体)

【例】原点と3点A(1, 0, 0), B(1, 2, 3), C(0, 1, 2)を頂点とする四面体OABCの体積を求めよ。
【解法】原点から△ABCに下ろした垂線を $\bekutoru{OH}$ とします。また, $\bekutoru{OA}=(1, 0, 0), \bekutoru{OB}=(1, 2, 3), \bekutoru{OC}=(0, 1, 2)$ である。

このとき, $s, t$ を実数とすると,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OH}}&=& \overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{AB}}+t \overrightarrow{\text{AC}}\\&=& \overrightarrow{\text{OA}}+s\left( \overrightarrow{\text{OB}}- \overrightarrow{\text{OA}}\right)+t\left( \overrightarrow{\text{OC}}- \overrightarrow{\text{OA}}\right)\\&=&(1-s-t) \overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{OB}}+t \overrightarrow{\text{OC}}\\&=&(1-s-t)\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+s \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\\&=& \left(\begin{array}{c}1-s-t+s\\2s+t\\3s+2t\end{array}\right)\\&=& \left(\begin{array}{c}1-t\\2s+t\\3s+2t\end{array}\right)\end{array}$
ここで, $\bekutoru{AB}=(0, 2, 3), \bekutoru{AC}=(-1, 1, 2)$ で, $\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AB}$ , $\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AC}$ であるから,
$\begin{array}{lll} (1-t, 2s+t, 3s+2t)\left(\begin{array}{c}0\\2\\3\end{array}\right)&=&4s+2t+9s+6t\\&=&13s+8t=0\cdots\maru1\end{array}$
$\begin{array}{lll} (1-t, 2s+t, 3s+2t)\left(\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right)&=&-1+t+2s+t+6s+4t\\&=&8s+6t-1=0\cdots\maru2\end{array}$
$\begin{cases}13s+8t = 0 \cdots\maru1\\8s+6t -1=0 \cdots\maru2\end{cases}$
これを解いて, $s=-\dfrac47, t=\dfrac{13}{14}$
よって, $\bekutoru{OH}$ は,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OH}}&=&\left\{1-\dfrac{13}{14},\ 2\cdot\left(-\dfrac47\right)+\dfrac{13}{14},\ 3\cdot\left(-\dfrac47\right)+2\cdot\dfrac{13}{14}\right\}\\&=&\left(\dfrac{1}{14},\ -\dfrac{3}{14},\ \dfrac17\right)\end{array}$
となるので, $\bekutoru{OH}$ の大きさは,
$\begin{array}{lll}\left|\overrightarrow{\text{OH}}\right|&=&\sqrt{\left(\dfrac{1}{14}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{14}\right)^2+\left(\dfrac17\right)^2}\\&=&\sqrt{\dfrac{1+9+4}{14^2}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{14}}\cdots\maru3\end{array}$
となる。
△ABCの面積は,
$\bekutoru{AB}=(0, 2, 3), \bekutoru{AC}=(-1, 1, 2)$ なので,
$\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
$\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}$
$\bekutoru{AB}$ と $\bekutoru{AC}$ の内積は,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}&=&(0, 2, 3)\left(\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right)\\&=&2+6\\&=&8\end{array}$
したがって,
$\begin{array}{lll}\triangle{\text{ABC}}&=&\dfrac12\sqrt{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|^2\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|^2-\left(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}} \right)^2}\\&=&\dfrac12\sqrt{(\sqrt{13})^2\cdot(\sqrt{6})^2-8^2}\\&=&\dfrac{\sqrt{14}}{2}\cdots\maru4\end{array}$
$\maru3, \maru4$ より, 求める体積は
$\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{14}}=\dfrac16\cdots$ (答)

四面体の体積の攻略を以下にまとめました。結構ベクトルと四面体の体積ではこの手法は有効だと思うので, 身に付けておいてくださいね。

四面体の体積の攻略(ベクトル)

$\maru1$ $\bekutoru{OH}$ (高さ)を $(1-s-t)\bekutoru{OA}+s\bekutoru{OB}+t\bekutoru{OC}$ とおく。
$\maru2$ $\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AB}$ , $\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AC}$ から内積0を使って $s, t$ の連立方程式をつくり, 解く。
$\maru3$ $\maru2$ から $\bekutoru{OH}$ を求め, $\left|\overrightarrow{\text{OH}}\right|$ を求める。
$\maru4$ $\bekutoru{AB}$ , $\bekutoru{AC}$ などを用いて, $\triangle{\text{ABC}}$ の面積を求める。
$\maru5$ $\maru3, \maru4$ を用いて四面体の体積を求める。
※ $\maru1$ の式は $\overrightarrow{\text{OH}}=\overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{AB}}+t \overrightarrow{\text{AC}}$ から導ける。