高校数学:ベクトル・4点の座標がわかる四面体の体積の求積

こんにちは。今回は空間における4点の座標がわかる場合の四面体の体積を求めてみたいと思います。例題を解きながら見ていきます。

例題を見てみよう(ベクトルと四面体)

【例】原点と3点A(1, 0, 0), B(1, 2, 3), C(0, 1, 2)を頂点とする四面体OABCの体積を求めよ。
【解法】原点から△ABCに下ろした垂線を\bekutoru{OH}とします。また, \bekutoru{OA}=(1, 0, 0), \bekutoru{OB}=(1, 2, 3), \bekutoru{OC}=(0, 1, 2)である。

このとき, s, tを実数とすると,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OH}}&=& \overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{AB}}+t \overrightarrow{\text{AC}}\\&=& \overrightarrow{\text{OA}}+s\left( \overrightarrow{\text{OB}}- \overrightarrow{\text{OA}}\right)+t\left( \overrightarrow{\text{OC}}- \overrightarrow{\text{OA}}\right)\\&=&(1-s-t) \overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{OB}}+t \overrightarrow{\text{OC}}\\&=&(1-s-t)\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+s \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\\&=& \left(\begin{array}{c}1-s-t+s\\2s+t\\3s+2t\end{array}\right)\\&=& \left(\begin{array}{c}1-t\\2s+t\\3s+2t\end{array}\right)\end{array}
ここで, \bekutoru{AB}=(0, 2, 3), \bekutoru{AC}=(-1, 1, 2)で, \bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AB}, \bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AC}であるから,
\begin{array}{lll}  (1-t, 2s+t, 3s+2t)\left(\begin{array}{c}0\\2\\3\end{array}\right)&=&4s+2t+9s+6t\\&=&13s+8t=0\cdots\maru1\end{array}
\begin{array}{lll}  (1-t, 2s+t, 3s+2t)\left(\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right)&=&-1+t+2s+t+6s+4t\\&=&8s+6t-1=0\cdots\maru2\end{array}
\begin{cases}13s+8t = 0 \cdots\maru1\\8s+6t -1=0 \cdots\maru2\end{cases}
これを解いて, s=-\dfrac47, t=\dfrac{13}{14}
よって, \bekutoru{OH}は,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OH}}&=&\left\{1-\dfrac{13}{14},\  2\cdot\left(-\dfrac47\right)+\dfrac{13}{14},\  3\cdot\left(-\dfrac47\right)+2\cdot\dfrac{13}{14}\right\}\\&=&\left(\dfrac{1}{14},\  -\dfrac{3}{14},\  \dfrac17\right)\end{array}
となるので, \bekutoru{OH}の大きさは,
\begin{array}{lll}\left|\overrightarrow{\text{OH}}\right|&=&\sqrt{\left(\dfrac{1}{14}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{14}\right)^2+\left(\dfrac17\right)^2}\\&=&\sqrt{\dfrac{1+9+4}{14^2}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{14}}\cdots\maru3\end{array}
となる。
△ABCの面積は,
\bekutoru{AB}=(0, 2, 3), \bekutoru{AC}=(-1, 1, 2)なので,
\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}
\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}
\bekutoru{AB}\bekutoru{AC}の内積は,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}&=&(0, 2, 3)\left(\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right)\\&=&2+6\\&=&8\end{array}
したがって,
\begin{array}{lll}\triangle{\text{ABC}}&=&\dfrac12\sqrt{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|^2\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|^2-\left(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}} \right)^2}\\&=&\dfrac12\sqrt{(\sqrt{13})^2\cdot(\sqrt{6})^2-8^2}\\&=&\dfrac{\sqrt{14}}{2}\cdots\maru4\end{array}
\maru3, \maru4より, 求める体積は
\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{14}}=\dfrac16\cdots(答)


四面体の体積の攻略を以下にまとめました。結構ベクトルと四面体の体積ではこの手法は有効だと思うので, 身に付けておいてくださいね。

四面体の体積の攻略(ベクトル)
\maru1 \bekutoru{OH}(高さ)を(1-s-t)\bekutoru{OA}+s\bekutoru{OB}+t\bekutoru{OC}とおく。
\maru2 \bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AB}, \bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AC}から内積0を使ってs, tの連立方程式をつくり, 解く。
\maru3 \maru2から\bekutoru{OH}を求め, \left|\overrightarrow{\text{OH}}\right|を求める。
\maru4 \bekutoru{AB}, \bekutoru{AC}などを用いて, \triangle{\text{ABC}}の面積を求める。
\maru5 \maru3, \maru4を用いて四面体の体積を求める。
\maru1の式は\overrightarrow{\text{OH}}=\overrightarrow{\text{OA}}+s \overrightarrow{\text{AB}}+t \overrightarrow{\text{AC}}から導ける。





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