高校数学：数列：定期テスト対策・3項間漸化式

こんにちは。今回は3項間漸化式をやってみましょう。

3項間漸化式の問題

【問題】次の条件によって定められる数列 $\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1=1, a_2=2, a_{n+2}+3a_{n+1}-4a_n=0$
(2) $a_1=3, a_2=7, a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$
(3) $a_1=1, a_2=9, a_{n+2}-8a_{n+1}+16a_n=0$

【解答】
(1) 特性方程式 $x^2+3x-4=0$ を解くと $(x+4)(x-1)=0$ , $x=-4, 1$
これを参考に漸化式を変形する。(※特性方程式のことは答案には書かない)
漸化式 $a_{n+2}+3a_{n+1}-4a_n=0$ を変形すると,
$a_{n+2}-a_{n+1}=-4(a_{n+1}-a_n)$ となる。
数列 $a_{n+1}-a_n$ は, 初項 $a_2-a_1=2-1=1$ , 公比 $-4$ の等比数列であるから,
$a_{n+1}-a_n=(-4)^{n-1}$
したがって, $n\geqq2$ のとき,
$\begin{array}{lll}a_n&=&a_1+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-4)^{n-1}\\&=&1+\dfrac{1\cdot\left\{1-(-4)^{n-1}\right\}}{1-(-4)}\\&=&\dfrac{6-(-4)^{n-1}}{5}\end{array}$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, $a_n=\dfrac{6-(-4)^{n-1}}{5}\cdots$ (答)
(2) 特性方程式 $x^2-5x+6=0$ を解くと $(x-2)(x-3)=0$ , $x=2, 3$
これを参考に漸化式を変形する。(※特性方程式のことは答案には書かない)
漸化式 $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$ を変形すると,
$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n)\cdots\maru1$
または,
$a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)\cdots\maru2$
となる。
$\maru1$ のとき,
数列 $a_{n+1}-2a_n$ は初項 $a_2-2a_1=7-2\cdot3=1$ , 公比3の等比数列なので,
$a_{n+2}-2a_n=1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}\cdots\maru3$
$\maru2$ のとき,
数列 $a_{n+1}-3a_n$ は初項 $a_2-3a_1=7-3\cdot3=-2$ , 公比2の等比数列なので,
$a_{n+1}-3a_n=-2\cdot2^{n-1}=-2^n\cdots\maru4$
$\maru3-\maru4$ より,
$a_n=3^{n-1}+2^n\cdots$ (答)
(3) 特性方程式 $x^2-8x+16=0$ を解くと $(x-4)^2=0$ , $x=4$
これを参考に漸化式を変形する。(※特性方程式のことは答案には書かない)
漸化式 $a_{n+2}-8a_{n+1}+16a_n=0$ を変形すると,
$a_{n+2}-4a_{n+1}=4(a_{n+1}-4a_n)$ となる。
数列 $a_{n+1}-4a_n$ は, 初項 $a_2-4a_1=9-4\cdot1=5$ , 公比4の等比数列であるから,
$a_{n+1}-4a_n=5\cdot4^{n-1}\cdots\maru1$
$\maru1$ の両辺を $4^{n+1}$ で割ると,
$\dfrac{a_{n+1}}{4^{n+1}}-\dfrac{4a_n}{4^{n+1}}=\dfrac{5\cdot4^{n-1}}{4^{n+1}}$
これより,
$\dfrac{a_{n+1}}{4^{n+1}}-\dfrac{a_n}{4^n}=\dfrac{5}{16}$
したがって, 数列 $\dfrac{a_n}{4^n}$ は, 初項 $\dfrac{a_1}{4}=\dfrac14$ , 公差 $\dfrac{5}{16}$ の等差数列である。
よって,
$\begin{array}{lll}\dfrac{a_n}{4^n}&=&\dfrac14+\dfrac{5}{16}(n-1)\\&=&\dfrac{5}{16}n-\dfrac{1}{16}\end{array}$
ゆえに,
$\begin{array}{lll}a_n&=&\left(\dfrac{5}{16}n-\dfrac{1}{16}\right)\cdot 4^n\\&=&(5n-1)\cdot\dfrac{4^n}{16}\\&=&(5n-1)\cdot 4^{n-2}\end{array}$
$a_n=(5n-1)\cdot4^{n-2}\cdots$ (答)

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