高校数学：数列：定期テスト対策・少し難しい漸化式

今回は少し難しい漸化式の問題です。

少し難しい漸化式の問題

【問題】次の条件によって定められる数列 $\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。
$a_1=2, a_{n+1}=2a_n-n+1$

【解答】与式の漸化式 $a_{n+1}=2a_n-n+1$ が
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2\left(a_n+\alpha n+\beta\right)\cdots\maru1$ と変形できるとする。
これを展開すると,
$a_{n+1}=2a_n+\alpha n-\alpha+\beta$ となる。
これは与式の漸化式と一致するはずなので,
$\alpha n-\alpha+\beta=-n+1$ となる。
このとき, $\alpha=-1$ , $\beta=0$ なので,
$\maru1$ より漸化式は
$a_{n+1}-(n+1)=2(a_n-n)$ と変形できる。
これは, 数列 $a_n-n$ が初項 $a_1-1=2-1=1$ , 公比2の等比数列であることを表しているので,
$a_n-n=1\cdot2^{n-1}$ となる。
よって,
$a_n=2^{n-1}+n\cdots$ (答)
【別解】
$a_{n+1}=2a_n-n+1\cdots\maru1$ より,
$a_{n+2}=2a_{n+1}-(n+1)+1\cdots\maru2$
$\maru2-\maru1$ から, $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)-1\cdots\maru3$
$a_{n+1}-a_n=b_n$ とおくと,
$b_{n+1}=2b_n-1\cdots\maru4$
$\maru1$ で $n=1$ とすると, $a_2=2a_1=2\cdot2=4$
また, $\maru4$ を変形すると,
$b_{n+1}-1=2(b_n-1)$
これは数列 $b_n-1$ が初項 $b_1-1=a_2-a_1-1=4-2-1=1$ , 公比2の等比数列であることを表しているので,
$b_n-1=1\cdot2^{n-1}$ となり,
$a_{n+1}-a_n-1=2^{n-1}$
$a_{n+1}-a_n=2^{n-1}+1\cdots\maru5$ を得る
$\maru1$ から $a_{n+1}-2a_n=-n+1\cdots\maru6$
$\maru5-\maru6$ より, $a_{n+1}$ を消去して
$a_n=2^{n-1}+n\cdots$ (答)

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