高校数学：数列：定期テスト対策・分母が無理数和の数列の和

2022年1月2日2022年4月25日

こんにちは。定期テストなどでよく見かける問題を扱ってみようと思います。それではどうぞ。

分母を有理化し数列の概要を見る

【問題】次の和を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}}$

$\begin{array}{lll}\dfrac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}}&=&\dfrac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3}}{\left(\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}\right)\left(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+3}\right)}\\&=&\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2}\end{array}$
であるから, 求める和は,
$\begin{array}{lll}&&\left(\sqrt4-\sqrt3\right)+\left(\sqrt5-\sqrt4\right)+\left(\sqrt6-\sqrt5\right)+\cdots+\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}\right)\\&=& \left(\cancel{\sqrt4}-\sqrt3\right)+\left(\cancel{\sqrt5}-\cancel{\sqrt4}\right)+\left(\cancel{\sqrt6}-\cancel{\sqrt5}\right)+\cdots+\left(\sqrt{n+3}-\cancel{\sqrt{n+2}}\right)\\&=&\sqrt{n+3}-\sqrt3\end{array}$

ここがポイント

分母を有理化して, 何が打ち消し合うのか見極める。

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