TikZ：高校数学：空間ベクトル・垂線の足の座標

こんにちは。今回は頻出系である, 平面への垂線の足の座標の求め方を見ていこうと思います。例題を解きながら見ていきましょう。

垂線の足の座標の求値問題は頻出

【例題】空間において, 3点A(5, 0, 1), B(4, 2, 0), C(0, 1, 5)を頂点とする△ABCがある。原点(0, 0, 0)から平面ABCに垂線を下ろし, 平面ABCとの交点をHとするとき, Hの座標を求めよ。

手順としては, $\bekutoru{OH}$ (下図中の赤い線)が平面ABCに垂直なので, 平面ABCの2つのベクトルの成分を求めて, その2つのベクトルと $\bekutoru{OH}$ との内積が, それぞれ0になることを用いて, $\bekutoru{OH}$ の成分を求めていくという方針になります。

先の方針より, まず $\bekutoru{AB}$ , $\bekutoru{AC}$ の成分を求めると,
$\bekutoru{AB}=(4-5,2-0,0-1)=(-1, 2, -1)$ ,
$\bekutoru{AC}=(0-5,1-0,5-1)=(-5,1,4)$
次に, 4点A, B, C, Hは同一平面上にあるので,
$\bekutoru{AH}=s\bekutoru{AB}+t\bekutoru{AC}$ ( $s, t$ は実数)
と表せる。
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OH}}&=&\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AH}}\\&=&\overrightarrow{\text{OA}}+s\overrightarrow{\text{AB}}+t\overrightarrow{\text{AC}}\\&=&(5, 0, 1)+s(-1, 2, -1)+t(-5, 1, 4)\\&=&(5-s-5t, 2s+t, 1-s+4t)\end{array}$
$\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AB}$ より, $\bekutoru{OH}\cdot\bekutoru{AB}=0$ であるから
$(5-s-5t)\cdot(-1)+(2s+t)\cdot2+(1-s+4t)\cdot(-1)=0$
$6s+3t-6=0$
$2s+t-2=0\cdots\maru1$
$\bekutoru{OH}\perp\bekutoru{AC}$ より, $\bekutoru{OH}\cdot\bekutoru{AC}=0$ であるから
$(5-s-5t)\cdot(-5)+(2s+t)\cdot1+(1-s+4t)\cdot4=0$
$3s+42t-21=0$
$s+14t-7=0\cdots\maru2$
$\maru1$ , $\maru2$ から,
$s=\dfrac79$ , $t=\dfrac49$
よって,
$\bekutoru{OH}=\left(5-\dfrac79-\dfrac{20}{9}, \dfrac{14}{9}+\dfrac49, 1-\dfrac79+\dfrac{16}{9}\right)=(2, 2, 2)$
したがって, H(2, 2, 2)

解法のコツ

$\maru1$ 垂線の足のある平面ABC上のベクトルの成分を2つ $\left(\overrightarrow{\mathstrut \text{AB}}, \overrightarrow{\mathstrut \text{AC}}\right)$ 求める。
$\maru2$ 4点A, B, C, Hが同一平面上にあることから, 垂線のベクトル $\bekutoru{OH}$ を $\bekutoru{OA}+\bekutoru{AH}=\bekutoru{OA}+s\bekutoru{AB}+t\bekutoru{AC}$ のように表し, 成分を $s, t$ を使って求める。
$\maru3$ $\maru1$ のベクトルと $\maru2$ のベクトルが垂直であることをから, 内積が0になることを用いて, $s, t$ に関する連立方程式をつくる。
$\maru4$ $\maru3$ を解いて $\bekutoru{OH}$ を求め, Hの座標を求める。

垂線の足の座標の求値問題は頻出

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