こんにちは。今回は頻出系である, 平面への垂線の足の座標の求め方を見ていこうと思います。例題を解きながら見ていきましょう。
【例題】空間において, 3点A(5, 0, 1), B(4, 2, 0), C(0, 1, 5)を頂点とする△ABCがある。原点(0, 0, 0)から平面ABCに垂線を下ろし, 平面ABCとの交点をHとするとき, Hの座標を求めよ。
手順としては, (下図中の赤い線)が平面ABCに垂直なので, 平面ABCの2つのベクトルの成分を求めて, その2つのベクトルと
との内積が, それぞれ0になることを用いて,
の成分を求めていくという方針になります。
先の方針より, まず




次に, 4点A, B, C, Hは同一平面上にあるので,


と表せる。















よって,

したがって, H(2, 2, 2)
解法のコツ
垂線の足のある平面ABC上のベクトルの成分を2つ
求める。
4点A, B, C, Hが同一平面上にあることから, 垂線のベクトル
を
のように表し, 成分を
を使って求める。
のベクトルと
のベクトルが垂直であることをから, 内積が0になることを用いて,
に関する連立方程式をつくる。
を解いて
を求め, Hの座標を求める。