TikZ：高校数学：空間ベクトル・四面体の問題

こんにちは。今回は定期テストはもちろん, それ以外でも頻出の問題をやってみましょう。実際に問題を解いてみてください。解法はそれから見てください。

四面体の問題は頻出

【問題】四面体OABCにおいて, 辺ABを2 : 1に内分する点をD, 線分CDを3 : 2に内分する点をP, 辺OAの中点をMとする。また, OPと△MBCとの交点をQとする。 $\overrightarrow{ \mathstrut \text{OA}}=\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut \text{OB}}=\overrightarrow{ \mathstrut b}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut \text{OC}}=\overrightarrow{ \mathstrut c}$ とするとき, 次の問いに答よ。
(1) $\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}$ を $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut c}$ を用いて表せ。
(2) $\overrightarrow{ \mathstrut \text{OQ}}$ を $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut c}$ を用いて表せ。
(3) $\mathrm{OQ : QP}$ を求めよ。

【解答】

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \text{OD}}=\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac23\overrightarrow{ \mathstrut b}\cdots\maru1$
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}=\dfrac35\overrightarrow{ \mathstrut \text{OD}}+\dfrac25\overrightarrow{ \mathstrut c}\cdots\maru2$
$\maru2$ に $\maru1$ を代入して,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}=\dfrac35\left(\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac23\overrightarrow{ \mathstrut b}\right)+\dfrac25\overrightarrow{ \mathstrut c}$
よって,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}=\dfrac15\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac25\overrightarrow{ \mathstrut b}+\dfrac25\overrightarrow{ \mathstrut c}$
(2) O, Q, Pは一直線上にあるので,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OQ}}=k\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}$ ( $k$ は実数)
とおける。
したがって,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OQ}}= \dfrac15k\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac25k\overrightarrow{ \mathstrut b}+\dfrac25k\overrightarrow{ \mathstrut c}\cdots\maru1$
となる。
4点M, B, C, Qは同一平面上にあるから,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{MQ}}=s\overrightarrow{ \mathstrut \text{MB}}+t\overrightarrow{ \mathstrut \text{MC}}$ ( $s, t$ は実数) $\cdots\maru2$
と表せる。
ここで,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{MB}}&=&-\overrightarrow{ \mathstrut \text{OM}}+\overrightarrow{ \mathstrut \text{OB}}\\&=&-\dfrac12\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}\cdots\maru3\end{array}$
また,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{MC}}&=&- \overrightarrow{ \mathstrut \text{OM}}+\overrightarrow{ \mathstrut \text{OC}}\\&=&-\dfrac12\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut c}\cdots\maru4\end{array}$
$\maru2$ に $\maru3$ , $\maru4$ を代入して, 整理すると,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{MQ}}=\dfrac12(-s-t)\overrightarrow{ \mathstrut a}+s\overrightarrow{ \mathstrut b}+t\overrightarrow{ \mathstrut c}\cdots\maru5$
ここで,
$\overrightarrow{ \mathstrut \text{OQ}}=\overrightarrow{ \mathstrut \text{OM}}+ \overrightarrow{ \mathstrut \text{MQ}}$
$\maru5$ より,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{OQ}}&=&\dfrac12\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac12(-s-t)\overrightarrow{ \mathstrut a}+s\overrightarrow{ \mathstrut b}+t\overrightarrow{ \mathstrut c}\\&=&\dfrac12(1-s-t)\overrightarrow{ \mathstrut a} +s\overrightarrow{ \mathstrut b}+t\overrightarrow{ \mathstrut c} \cdots\maru6\end{array}$
4点O, A, B, Cは同一平面上にないので,
$\maru1$ , $\maru6$ より,
$\begin{cases}\dfrac15k=\dfrac{1-s-t}{2}\\\dfrac25k=s\\\dfrac25k=t\end{cases}$
これを解いて, $k=\dfrac56$ , $s=\dfrac13$ , $t=\dfrac13$
よって,
$\overrightarrow{\text{OQ}}=\dfrac16\overrightarrow{ \mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut c}$
(3) (2)より, $k=\dfrac56$ なので,
$\bekutoru{OQ}=\dfrac56\bekutoru{OP}$
これより, OQ : OP $= 5 : 6$
したがって, OQ : QP $= 5 : 1$

ここがポイント

所定のベクトルを2通りの表し方で表して, 連立方程式を解いて求める。

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四面体の問題は頻出

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