TikZ:高校数学:積分:面積の値が一定になることの証明

こんにちは。今回は面積の値が一定になることの証明問題をやってみましょう。それではどうぞ。

面積の値が一定になることを示す問題

【問題】放物線y=x^2+1上の点( a, b )における放物線の接線と放物線y=x^2で囲まれた図形の面積は, aの値に関係なく一定であることを示せ。

【解答】y=x^2+1\cdots\maru1xについて微分すると, y'=2x
( a, b )\maru1上にあるので, b=a^2+1が成り立ち.
( a, b )は, 点( a, a^2+1 )と書ける。これを点Pとする。
したがって, この点Pにおける接線の方程式は,
y=2a(x-a)+a^2+1とおけ,
y=2ax-a^2+1\cdots\maru2となる。
この直線とy=x^2\cdots\maru3の交点のx座標を求めると,
x^2=2ax-a^2+1
x^2-2ax+a^2=1
(x-a)^2=1
x-a=\pm1
x=a\pm1となる。
この様子を図示すると, 以下のようになる。

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したがって, 求める面積は,
\begin{array}{lll}&&\displaystyle\int^{a+1}_{a-1}\left(2ax-a^2+1-x^2\right)\,dx\\&=&-\displaystyle\int^{a+1}_{a-1}(x-a-1)(x-a+1)\,dx\\&=&\dfrac{\left\{(a+1)-(a-1)\right\}^3}{6}\\&=&\dfrac43\end{array}
よって, aの値に関係なく面積が一定であることが示せた。

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