高校数学：複素数における式変形の例③z^n-1の因数分解

こんにちは。頻出系の式変形を書いておきます。知らないとこんな式変形思いつかないかもという内容です。先ず例題を示します。そして, 最後に類題をやってみましょう。

例題

【例題】複素数 $z$ が $z=\cos\dfrac25\pi+i\sin\dfrac25\pi$ のとき,
(1) $z^4+z^3+z^2+z+1$ の値を求めよ。
(2) $z\cdot z^2\cdot z^3\cdot z^4$ の値を求めよ。

解法とテクニック

【解法】
(1) $z=\cos\dfrac25\pi+i\sin\dfrac25\pi$ の両辺を5乗する。5乗する理由は偏角を $2\pi$ にするためである。
$\begin{array}{lll}z^5&=&\left(\cos\dfrac25\pi+i\sin\dfrac25\pi\right)^5\\&=&\cos2\pi+i\sin2\pi\\&=&1\cdots\maru1\end{array}$
$\maru1$ から, $z^5=1$ となり, $z^5-1=0$ として, 左辺を因数分解すると,
$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$
となる。このとき, $z\neq1$ なので, $z-1\neq0$ である。
よって,
$z^4+z^3+z^2+z+1=0$
したがって, 求める値は0である。
(2) $z\cdot z^2\cdot z^3\cdot z^4$ に指数法則を用いると,
$z\cdot z^2\cdot z^3\cdot z^4=z^{1+2+3+4}=z^{10}$
したがって,
$\begin{array}{lll}z^{10}&=&\left(\cos\dfrac25\pi+i\sin\dfrac25\pi\right)^{10}\\&=&\cos4\pi+i\sin4\pi\\&=&1\end{array}$
よって, 求める値は1である。

知っておきたいテクニック

$\maru1$ 両辺を何乗かして $\cos2\pi+i\sin2\pi=1$ をつくる。
$\maru2$ 因数分解のテクニック
$z^n-1$ の因数分解(ちゃんと因数分解すると $n$ の値によっては以下のようにならないこともあります。)
$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+\cdots+z^2+z+1)$
例　 $z^{11}-1=(z-1)(z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)$
例外　 $z^6-1=(z^3+1)(z^3-1)=(z+1)(x^2-x+1)(z-1)(z^2+z+1)$
ただし, これも, $(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)$ と変形はできます。

類題

【類題】複素数 $z$ が $z=\cos\dfrac{\pi}{13}+i\sin\dfrac{\pi}{13}$ のとき, 次の値を求めよ。
(1) $1+z+z^2+\cdots+z^{25}$
(2) $z\cdot z^2\cdot \cdots \cdot z^{25}$

解答　クリックしてください

【略解】
(1)　 $z$ の両辺を26乗すると,
$z^{26}=1$
$z^{26}-1=0$
$(z-1)(z^{25}+z^{24}+\cdots+z+1)=0$
$z\neq1$ より, $z^{25}+z^{24}+\cdots+z+1=0$
つまり, $1+z+z^2+\cdots+z^{25}=0$
よって求める値は $0$
(2)　 $z\cdot z^2\cdot \cdots \cdot z^{25}=z^{1+2+\cdots+25}=z^{325}=z^{13\times25}$
$\begin{array}{lll}z^{325}&=&\left(\cos\dfrac{\pi}{13}+i\sin\dfrac{\pi}{13}\right)^{13\times25}\\&=&\cos25\pi+i\sin25\pi\\&=&-1\end{array}$
よって求める値は $-1$

例題

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類題

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