高校数学：数III積分・置換積分法の基本的考え方

こんにちは。今回は置換積分法について書いておきます。以下 $C$ は積分定数とします。

基本的考え方

【考え方】
$g(x)=t$ とおくと,
$\displaystyle\int f(g(x))\cdot g'(x) \,dx=\displaystyle\int f(t)\,dt$
【証明】
$g(x)=t$ を微分して,
$g'(x) \,dx=dt$
したがって,
$\displaystyle\int \underset{f(t)}{\underline{f(g(x))}}\cdot \underset{dt}{\underline{g'(x) \,dx}}=\displaystyle\int f(x)\,dt$
同様に
$f(x)=F'(x)$ なら,
$\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\dfrac1a\, F(ax+b)+C$
【証明】
$ax+b=t$ とおくと,
$a \,dx=dt$ なので, $dx=\dfrac1a \, dt$
したがって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \underset{f(t)}{\underline{f(ax+b)}}\cdot \underset{\frac1a\, dt}{\underline{dx}}&=&\displaystyle\int f(t)\cdot \dfrac1a\,dt\\&=&\dfrac1a\, \displaystyle\int f(t)\, dt\\&=&\dfrac1a\, F(t)+C\\&=&\dfrac1a\, F(ax+b)+C\end{array}$

公式①1次式の累乗式の積分

1次式の累乗式の積分(2乗程度なら展開してもよいが $\cdots$ )
$\displaystyle\int (ax+b)^n\, dx$
$n\neq-1$ なら,
$\displaystyle\int (ax+b)^n\, dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$
$n=-1$ なら,
$\displaystyle\int (ax+b)^{-1}\, dx=\dfrac1a\log{|ax+b|}+C$
また, $\dfrac{p}{(ax+b)^n}$ は $p(ax+b)^{-n}$ として積分し,
$\sqrt[n]{(ax+b)^m}$ は $(ax+b)^{\frac mn}$ として積分するとよい。
【例1】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int (2x+1)^3\,dx&=&\dfrac{1}{2\cdot(3+1)}(2x+1)^{3+1}+C\\&=&\dfrac18(2x+1)^4+C\end{array}$
【例2】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{1}{1-x}\,dx&=&\displaystyle\int(1-x)^{-1}\,dx\\&=&\dfrac{1}{-1}\log{|1-x|}+C\,dx\\&=&-\log{|1-x|}+C\end{array}$
【例3】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[4]{(1-x)^3}}\,dx&=&\displaystyle\int(1-x)^{-\frac34}\,dx\\&=&\dfrac{1}{\left(-\frac34+1\right)\cdot(-1)}(1-x)^{\left(-\frac34+1\right)}+C\\&=&-4(1-x)^{\frac14}+C\\&=&-4\sqrt[4]{1-x}+C\end{array}$

公式②f'(x)とf(x)が積の形の積分

$f'(x)$ と $f(x)$ が積の形の積分
$\displaystyle\int \left\{f(x)\right\}^n\cdot f'(x) \,dx=\dfrac{1}{n+1}\left\{f(x)\right\}^{n+1}+C$
【例1】
$\displaystyle\int x^2(x^3-1)^2\,dx$
$x^3-1=t$ とおくと,
$3x^2\,dx=dt$ なので, $x^2\,dx=\dfrac13\,dt$
よって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int x^2(x^3-1)^2\,dx&=&\displaystyle\int t^2\cdot\dfrac13\,dt\\&=&\dfrac13\displaystyle\int t^2\,dt\\&=&\dfrac19 t^3+C\\&=&\dfrac19 (x^3-1)^3+C\end{array}$
公式を使った例
【例2】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \sin(2x-3)\,dx&=&\dfrac12\displaystyle\int \sin(2x-3)\cdot 2\,dx\\&=&\dfrac12\displaystyle\int\sin(2x-3)\cdot(2x-3)'\,dx\\&=&-\dfrac12\cos(2x-3)+C\end{array}$

公式③f'(x)/f(x)の形の積分

$f'(x)$ が分子で $f(x)$ が分母になっている形の積分
$\displaystyle\int \dfrac{p\cdot f'(x)}{f(x)}\,dx=p\log{|f(x)|}+C$
【例1】
$\displaystyle\int\tan x\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$
$\cos x=t$ とおくと,
$-\sin x\,dx=dt$ なので, $\sin x=-dt$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}\cdot\sin x\,dx\\&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{t}\cdot(-dt)\\&=&\displaystyle\int-\dfrac1t\,dt\\&=&-\log{|t|}+C\\&=&-\log{|\cos x|}+C\end{array}$
公式で解決すると,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\tan x\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx\\&=&\displaystyle\int\dfrac{-(\cos x)'}{\cos x}\, dx\\&=&-\log|\cos x|+C\end{array}$
【例2】公式利用
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{1}{2x-6}\,dx&=&\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{2}{2x-6}\,dx\\&=&\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{(2x-6)'}{2x-6}\,dx\\&=&\dfrac12\log{|2x-6|}+C\end{array}$