高校数学：数III積分・積分の基本公式と基本テクニック

こんにちは。今回は積分の基本公式を書いておきます。以下 $C$ は積分定数です。

定義

定義として
$f(x)=F'(x)$ とすると,
$\displaystyle \int f(x) \,dx=F(x)+C$
があります。

積分の基本公式

基本公式
$\maru1$ $\displaystyle\int x^{n} \,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (n\neq-1)$
$\maru2$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{x} \,dx=\log{|x|}+C$
$\maru3$ $\displaystyle\int e^{x} \,dx=e^x+C$
$\maru4$ $\displaystyle\int \sin x \,dx=-\cos x +C$
$\maru5$ $\displaystyle\int \cos x \,dx=\sin x +C$
$\maru6$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \,dx=\tan x +C$
$\maru7$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\dfrac{1}{\tan x}+C$
$\maru8$ $\displaystyle\int a^x \,dx=\dfrac{a^x}{\log{a}}+C (a>0, a\neq1)$
※ $\tan x$ の積分は置換積分に書いてます。
次の積分も公式として覚えておいてもいいでしょう。詳しくは部分積分で行います。
$\maru9$ $\displaystyle\int \log{x} \,dx=x\log{x}-x+C$

積分の基本テクニック①

$\maru{1}$ 積分するものが因数分解の形で書かれている場合は, 展開して積分すると大丈夫な場合がある。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int (x+1)(x-3) \,dx&=&\displaystyle\int (x^2-2x-3) \,dx\\&=&\dfrac13x^3-x^2-3x+C\end{array}$
$\maru{2}$ $\sqrt[n]{x^m}$ の積分は $x^{\frac{m}{n}}$ に直して積分するとよい。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2} \,dx&=&\displaystyle\int x^{\frac23} \,dx\\&=&\dfrac35 x^{\frac53}+C\end{array}$
$\maru{3}$ $\dfrac{X\pm Y}{Z}$ の積分は $\dfrac{X}{Z}\pm\dfrac{Y}{Z}$ と変形して積分するとよい。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{x^2-1}{x} \,dx&=&\displaystyle\int \left(\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}\right) \,dx\\&=&\displaystyle\int x \,dx-\displaystyle\int\dfrac{1}{x} \,dx\\&=&\dfrac12x^2-\log{|x|}+C\end{array}$

積分の基本テクニック②

$\sin x\cos x$ , $\sin^2 x$ , $\cos^2 x$ は, 2倍角の公式を用いて, $\sin2x$ , $\cos2x$ を用いた式に書き換えて積分するのが定石です。
$\maru1$ $\sin2x=2\sin x\cos x$ から,
$\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$
$\maru2$ $\cos2x=2\cos^2x-1$ から,
$\cos^2x=\dfrac12(\cos2x+1)$
$\maru3$ $\cos2x=1-2\sin^2x$ から,
$\sin^2x=\dfrac12(1-\cos2x)$
などを用いる。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \sin^2{2x} \,dx&=&\displaystyle\int \left\{\dfrac{1}{2}(1-\cos4x)\right\} \,dx\\&=&\displaystyle\int \dfrac12 \,dx-\displaystyle\int\dfrac12\cos4x\,dx\\&=&\dfrac12x-\dfrac18\sin4x+C\end{array}$