高校数学：数III積分・無理関数の積分のコツ

こんにちは。今回は無理関数の積分について書いておきます。以下, $C$ は積分定数とします。

根号の中と外の式でf'(x),f(x)の関係がある場合

$\displaystyle\int p\cdot f'(x)\sqrt{f(x)}\,dx$ や $\displaystyle\int\dfrac{p\cdot f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\,dx$ の積分では, $f(x)=t$ とおくとうまくいくことが多い。
【例1】 $\displaystyle\int (x+1)\sqrt{x^2+2x}\,dx$ の不定積分を求めよ。
$x^2+2x=t$ とおくと, $2x+2\,dx=dt$ より,
$(x+1)\, dx=\dfrac12\,dt$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int (x+1)\sqrt{x^2+2x}\,dx&=&\displaystyle\int\sqrt{t}\cdot\dfrac12\,dt\\&=&\dfrac12\displaystyle\int t^{\frac12}\,dt\\&=&\dfrac12\cdot\dfrac{2}{1+2}t^{\frac12+1}+C\\&=&\dfrac13t^{\frac32}+C\\&=&\dfrac13\sqrt{x^3(x+2)^3}+C\end{array}$
【例2】
$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$ の不定積分を求めよ。
$x^2+1=t$ とおくと, $2x\,dt=dt$ より,
$x\,dt=\dfrac12\,dt$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot x\,dx\\&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{t}}\cdot\dfrac12\,dt\\&=&\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt\\&=&\dfrac12\displaystyle\int t^{-\frac12}\,dt\\&=&\dfrac12\cdot\dfrac{1}{-\frac12+1}t^{-\frac12+1}+C\\&=&t^{\frac12}+C\\&=&\sqrt{x^2+1}+C\end{array}$

根号の中と外の式でf'(x),f(x)の関係がない場合

上記のような関係がない場合, つまり, $\displaystyle\int p\cdot g(x)\sqrt{f(x)}\,dx$ や $\displaystyle{p\cdot g(x)}{\sqrt{f(x)}}$ の積分では, $\sqrt{f(x)}=t$ とおくとうまくいくことが多い。

【例】 $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$ の不定積分を求めよ。
$\sqrt{x+1}=t$ とおいて, 両辺2乗すると, $x+1=t^2$ なので,
$x=t^2-1$ , また, $dx=2t\,dt$ なので,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx&=&\displaystyle\int(t^2-1)\cdot t\cdot 2t\,dt\\&=&\displaystyle\int(2t^4-2t^2)\,dt\\&=&\dfrac25t^5-\dfrac23t^3+C\\&=&\dfrac25\left(\sqrt{x+1}\right)^5-\dfrac23\left(\sqrt{x+1}\right)^3+C\\&=&\dfrac25(x+1)^2\sqrt{x+1}-\dfrac23(x+1)\sqrt{x+1}+C\\&=&\left\{\dfrac{6}{15}(x^2+2x+1)-\dfrac{10}{15}(x+1)\right\}\sqrt{x+1}+C\\&=&\dfrac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C\end{array}$

分母が√f(x)±√g(x)の場合

分母が $\sqrt{f(x)}\pm\sqrt{g(x)}$ の場合, 有理化を行って処理していくことが多い。
【例】 $\displaystyle\int \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}-1}\,dx$ の不定積分を求めよ。
積分される関数の分母を有理化すると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}-1}&=&\dfrac{x^3(\sqrt{x^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)}\\&=&x(\sqrt{x^2+1}+1)\\&=&x\sqrt{x^2+1}+x\end{array}$
となるので, 与式は
$\displaystyle\int \left(x\sqrt{x^2+1}+x\right)\,dx$
となる。
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \left(x\sqrt{x^2+1}+x\right)\,dx&=&\displaystyle\int\left\{\dfrac12(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac12}+x\right\}\,dx\\&=&\dfrac12\cdot\dfrac23(x^2+1)^{\frac32}+\dfrac12x^2+C\\&=&\dfrac13(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+\dfrac12x^2+C\end{array}$

これでもうまくいかない場合は, 次の部分分数分解という手段が考えられる。

無理関数の部分分数分解

【例】不定積分 $\displaystyle\int\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}\,dx$ を次のようにして求めよ。
(1) $\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}=\dfrac{ax+b}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{x}}$ となる, 定数 $a, b, c$ を求めよ。
(2) (1)を利用し, 問題の不定積分を求めよ。
【解法例】
(1)
$\begin{array}{lll}\dfrac{ax+b}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{x}}&=&\dfrac{\sqrt{x}(ax+b)+c(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\&=&\dfrac{(ax+b+c)\sqrt{x}-c}{x-\sqrt{x}}\cdots\maru1\\\end{array}$
$\maru1$ と与式の $\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}$ が恒等的な関係なので,
$ax+b+c=x$ , $-c=-1$
よって, $a=1$ , $b=-1$ , $c=1$
(2) (1)より,
$\displaystyle\int\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}\,dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx$
となり, 右辺の左の項を有理化すると,
$\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\sqrt{x}+1$
よって求める不定積分は,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\left(\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx&=&\dfrac23x^{\frac12+1}+x+2x^{-\frac12+1}+C\\&=&\dfrac23x\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}+C\end{array}$