高校数学：数III積分・三角関数の積分のコツ

こんにちは。今回は三角関数の積分について書いておきます。以下, $C$ は積分定数とします。

基本的な考え方

基本的な考え方は次のような感じです。
$\displaystyle\int f(g(x))\cdot g'(x)\, dx$ は $g(x)=t$ とおけば, $g'(x)\,dx=dt$ となるので,
$\displaystyle\int f(g(x))\cdot g'(x)\, dx=\displaystyle\int f(t)\,dt$ と書き換えできる。
したがって,
$(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ なので,
$\displaystyle\int f(\sin x)\cdot \cos x\, dx$ で $\sin x=t$ とおくと, $\cos x\,dx=dt$ なので,
(与式) $=\displaystyle\int f(t)\,dt$ となる。
同様に,
$\displaystyle\int f(\cos x)\cdot \sin x\, dx$ で $\cos x=t$ とおくと, $-\sin x\,dx=dt$ なので,
(与式) $=-\displaystyle\int f(t)\,dt$ となる。

テクニック①

$\sin x\cos x$ , $\sin^2 x$ , $\cos^2 x$ は, $\sin^2x+\cos^2x=1$ や 2倍角の公式を用いて, $\sin2x$ , $\cos2x$ を用いた式に書き換えて積分するのが定石です。
$\maru1$ $\sin2x=2\sin x\cosx$ から,
$\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$
$\maru2$ $\cos2x=2\cos^2x-1$ から,
$\cos^2x=\dfrac12(\cos2x+1)$
$\maru3$ $\cos2x=1-2\sin^2x$ から,
$\sin^2x=\dfrac12(1-\cos2x)$
などを用いる。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\dfrac{\sin^2x}{1-\cos x}\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{1-\cos^2x}{1-\cos x}\,dx\\&=&\displaystyle\int\dfrac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{1-\cos x}\,dx\\&=&\displaystyle\int(1+\cos x)\,dx\\&=&x+\sin x+C\end{array}$

テクニック②

$\sin x$ や $\cos x$ の奇数乗の積分では次のように処理するとうまくいくことがある。
$\maru1$ $\sin^{2n+1}x=(\sin^2x)^n\cdot\sin x=(1-\cos^2x)^n\cdot\sin x$ として, $\cos x=t$ で置換する。
$\maru2$ $\cos^{2n+1}x=(\cos^2x)^n\cdot\cos x=(1-\sin^2x)^n\cdot\cos x$ として, $\sin x=t$ で置換する。
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\cos^5x\,dx&=&\displaystyle\int(\cos^2x)^2\cdot\cos x\,dx\\&=&\displaystyle\int(1-\sin^2x)^2\cdot\cos x\,dx\cdots(A)\\\end{array}$
ここで, $\sin x=t$ とおくと, $\cos x\,dx=dt$ なので,
$\begin{array}{lll}(A)&=&\displaystyle\int(1-t^2)^2\,dt\\&=&\displaystyle\int(1-2t^2+t^4)\,dt\\&=&\dfrac15t^5-\dfrac23t^3+t+C\\&=&\dfrac15\sin^5x-\dfrac23\sin^3x+\sin x+C\end{array}$

テクニック③

三角関数の積の積分は積和の公式で和の式に直して積分する。
積和の公式
$\maru1$ $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}$
$\maru2$ $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\rignt\}$
$\maru3$ $\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$
【例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\cos4x\cos5x\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac12\left\{\cos9x+\cos x\right\}\,dx\\&=&\dfrac{1}{18}\sin9x+\dfrac12\sin x+C\end{array}$