高校数学：積和の公式とその導出

こんにちは。三角関数で出てくる三角関数の積を和に直す公式です。それの紹介と導出です。

積和の公式

積和の公式とは次の3つです。

積和の公式

積和の公式
$\maru1$ $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}$
$\maru2$ $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\rignt\}$
$\maru3$ $\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$

公式の導出

今回はこの3つの公式を導いていきます。
用意するものは $\sin$ と $\cos$ の加法定理です。
$\sin$ の加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\cdots(A)$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\cdots(B)$
$\cos$ の加法定理
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\cdots(C)$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cdots(D)$
先ず $\maru1$ の公式は, $\sin$ の加法定理 $(A)$ と $(B)$ を加えます。
$\begin{array}{llllll}&\sin(\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta&+&\sin\beta\cos\alpha\\+)&\sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta&-&\sin\beta\cos\alpha\\ \hline&\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=&2\sin\alpha\cos\beta&&\end{array}$
よって,
$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}$
次に $\maru2$ の公式は, $\cos$ の加法定理 $(C)$ と $(D)$ を加えます。
$\begin{array}{llllll}&\cos(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\cos\beta&-&\sin\alpha\sin\beta\\+)&\cos(\alpha-\beta)&=&\cos\alpha\cos\beta&+&\sin\alpha\sin\beta\\ \hline&\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=&2\cos\alpha\cos\beta&&\end{array}$
よって,
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\rignt\}$
最後に $\maru3$ の公式は, $\cos$ の加法定理 $(C)$ と $(D)$ を引きます。
$\begin{array}{llllll}&\cos(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\cos\beta&-&\sin\alpha\sin\beta\\-)&\cos(\alpha-\beta)&=&\cos\alpha\cos\beta&+&\sin\alpha\sin\beta\\ \hline&\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=&&-&2\sin\alpha\sin\beta\end{array}$
よって,
$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$