emath:高校数学:整式の除法を用いた式の値の解法

こんにちは。今回は少々面倒な式の値も整式の除法を用いることで, 平易に求められるという事実を書いておきますね。例題を見ながらいきましょう。

代入値が有理数+無理数の場合の例題

【例】x=2-\sqrt3のとき, x^4-3x^3-4x^2-3x-1の値を求めよ。
【解法】
x=2-\sqrt3から, x-2=-\sqrt3として, 両辺に乗すると,
(x-2)^2=\left(-\sqrt3\right)^2
x^2-4x+4=3より,
x^2-4x+1=0を得る。
この式で, x^4-3x^3-4x^2-3x-1を割ると,


となり,
x^4-3x^3-4x^2-3x-1=\underline{( x^2-4x+1 )( x^2+x-1 )}-8x
と変形でき, 下線部は0(x^2-4x+1=0から)なので, 求める式の値は-8xの式の値を同値になる。
よって, 求める値は, -8(2-\sqrt3)=-16+8\sqrt3\cdots(答)

代入値が有理数+複素数の場合の例題

もう1つxの値が複素数の場合の例題をやっておこう。
【例】 x=1-\sqrt2 iのとき, x^4-3x^3+4x^2-3x-1の値を求めよ。
【解法】先と同様に式変形を行っていく。
x=1-\sqrt2 iから, x-1=-\sqrt2 iとして, 両辺に乗すると,
(x-1)^2=\left(-\sqrt2 i\right)^2
x^2-2x+1=-2より,
x^2-2x+3=0を得る。
この式で, x^4-3x^3+4x^2-3x-1を割ると,

となり,
x^4-3x^3+4x^2-3x-1=\underline{( x^2-2x+3 )( x^2-x-1 )}-2x+2
と変形でき, 下線部は0(x^2-2x+3=0から)なので, 求める式の値は-2x+2の式の値を同値になる。
よって, 求める値は, -2(1-\sqrt2 i)+2=2\sqrt2 i\cdots(答)

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