高校数学：点(b, a)からの楕円の2接線は直交する

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こんにちは。今回はよく出題される問題を一般化してみました。楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の接線で, 点 $(b, a)$ からの2つの接線が直交するというのを証明しようと思います。一般的には $a, b$ の値は数値化されて出題されることが多い問題です。それではいきましょう。最後の関連記事も参考に。

例題

【例題】楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の接線で, 点 $(b, a)$ を通る2つの接線は直交することを示せ。

解答例

【解法】点 $(b, a)$ を通る接線は $x$ 軸に垂直ではないので, 接線の式を $y=m(x-b)+a$ とおける。
これを楕円の式に代入すると,
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left\{m(x-b)+a\right\}^2}{b^2}=1$
両辺 $a^2b^2$ 倍して, 展開すると,
$b^2x^2+a^2m^2(x-b)^2+2a^3m(x-b)+a^4=a^2b^2$
さらに展開して, $x$ について整理すると,
$(a^2m2+b^2)x^2+(-2a^2bm^2+2a^3m)x+a^2b^2m^2-2a^3bm+a^4-a^2b^2=0$
これが重解をもつことから, 判別式 $D/4=0$ を用いると,
$(-a^2bm^2+a^3m)^2-(b^2+a^2m^2)(a^2b^2m^2-2a^3bm+a^4-a^2b^2)=0$
これを傾き $m$ について整理すると,
$a^2b^2\left\{(b^2-a^2)m^2-2abm+(a^2-b^2)\right\}=0$
$a^2b^2\neq0$ なので,
$(b^2-a^2)m^2-2abm+(a^2-b^2)=0$
接線の傾きはこの $m$ の2次方程式の2つの解なので, その解を $m_1, m_2$ とすると, 解と係数の関係により,
$m_1\cdot m_2=\dfrac{a^2-b^2}{b^2-a^2}\dfrac{-(b^2-a^2)}{b^2-a^2}=-1$
よって, 点 $(b, a)$ から楕円に引いた2つの接線は直交する。