高校数学：楕円の接線が直交するときの軌跡

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こんにちは。今回は定点Pから楕円への2本の接線が直交するようなとき, 定点Pの軌跡を求めてみようと思います。以下の問題が出題されるときは $a, b$ の値が数値化されていることが多いです。今回は一般化ということで, $a, b$ はそのままでやってみます。最後の関連記事も参考に。

楕円への2接線が直交するような点Pの軌跡

楕円の方程式 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\cdots\maru1$ 定点P $(s, t)$ とする。
$s=a$ のとき, 接線の1つは, $x=a$ であり, このとき, 点Pは $(a, b)$ , または $(a, -b)$ である。同様に, $s=-a$ のとき, 点Pは $(-a, b)$ , $(-a, -b)$ である。したがって, $s\neq \pm a$ とすると,
点Pを通る接線の方程式は $y=m(x-s)+t$ と表される。
これを $\maru1$ に代入すると,
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left\{m(x-s)+t\right\}^2}{b^2}=1$
両辺 $a^2b^2$ かけて展開すると,
$b^2x^2+a^2m^2(x-s)^2+2a^2mt(x-s)+a^2t^2=a^2b^2$
$(b^2+a^2m^2)x^2+(-2a^2m^2s+2a^2mt)x+a^2m^2s^2-2a^2mst+a^2t^2-a^2b^2=0$
これが重解を持てばいいので, 判別式 $D/4=0$ を用いると,
$(-a^2m^2s+a^2mt)^2-(b^2+a^2m^2)(a^2m^2s^2-2a^2mst+a^2t^2-a^2b^2)=0$
展開して, 接線の傾き $m$ について整理すると
$a^2b^2(s^2-a^2)m^2-2a^2b^2stm+a^2b^2(t^2-b^2)=0$
$a^2b^2\neq0$ なので, $a^2b^2$ で割って,
$(s^2-a^2)m^2-2stm+(t^2-b^2)=0$
となる。2本の接線の傾きを $m_1, m_2$ とすると, 直交条件より, $m_1\cdot m_2=-1$ で, $m_1, m_2$ はこの方程式の2つの解である。したがって, 解と係数の関係より,
$m_1\cdot m_2=\dfrac{t^2-b^2}{s^2-a^2}=-1$
が成り立つので,
$t^2-b^2=-(s^2-a^2)$
$s^2+t^2=a^2+b^2$
よって, $x^2+y^2=a^2+b^2$ となり,
これは, $(s, t)=(a, b), (a, -b), (-a, b), (-a, -b)$ を満たす。
したがって, 点Pが描く軌跡は, 中心が原点で半径 $\sqrt{a^2+b^2}$ の円である。