高校数学：2次曲線の接線の方程式と証明

こんにちは。今回は楕円, 放物線, 双曲線の接線について書いておきます。

楕円の接線

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
で与えられる。

【証明】
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると,
$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{a^2}$
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$
となるので, 接線の方程式は傾きが $-\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}$ で, 点 $(x_1, y_1)$ を通る直線になる。
したがって, 次のような式になる。
$y=-\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1)+y_1$
両辺 $a^2y_1$ かけて, 展開すると,
$a^y_1y=-b^2x_1x+b^2x_1^2+a^2y_1^2$
$b^2x_1x+a^2y_1y=b^2x_1^2+a^2y_1^2$
両辺 $a^2b^2$ で割ると,
$\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}\cdots\maru1$
$\maru1$ の右辺において, $x_1, y_1$ は楕円上の点であるから,
$\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1$ が成り立つので, $\maru1$ から
接線の方程式 $\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
を得る。

双曲線の接線

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
で与えられる。

【証明】
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
で与えられる。
【証明】
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると,
$\dfrac{2x}{a^2}-\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{a^2}$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{b^2x}{a^2y}$
となるので, 接線の方程式は傾きが $\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}$ で, 点 $(x_1, y_1)$ を通る直線になる。
したがって, 次のような式になる。
$y=\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1)+y_1$
両辺 $a^2y_1$ かけて, 展開すると,
$a^y_1y=b^2x_1x-b^2x_1^2+a^2y_1^2$
$-b^2x_1x+a^2y_1y=-b^2x_1^2+a^2y_1^2$
両辺 $-a^2b^2$ で割ると,
$\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}\cdots\maru1$
$\maru1$ の右辺において, $x_1, y_1$ は楕円上の点であるから,
$\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}=1$ が成り立つので, $\maru1$ から
接線の方程式 $\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
を得る。

放物線y²=4pxの接線

放物線の接線

放物線 $y^2=4px$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$y_1y=2p(x+x_1)$
で与えられる。

【証明】
$y^2=4px$ の両辺を $x$ で微分すると,
$2y\dfrac{dy}{dx}=4p$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2p}{y}$
となるので, 接線の方程式は傾きが $\dfrac{2p}{y_1}$ で, 点 $(x_1, y_1)$ を通る直線の式になる。
したがって, 次のような式になる。
$y=\dfrac{2p}{y_1}(x-x_1)+y_1$
両辺に $y_1$ をかけて, 展開すると,
$y_1y=2px-2px_1+y_1^2\cdots\maru1$
ここで, $(x_1, y_1)$ は放物線上の点であるから,
$y_1^2=4px_1$ が成り立つ。これを $\maru1$ の $y_1^2$ と置き換えると,
$y_1y=2px-2px_1+4px_1$
$y1y=2px+2px_1$ となり,
接線の方程式 $y_1y=2p(x+x_1)$
を得る。

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