高校数学：数学的帰納法(これは手品？)

こんにちは。今回は数学的帰納法の問題をやっていてこれは手品か？と思ったのがあったのでご紹介も兼ねてやってみようと思います。

例題を見てみよう

【例題】 $n$ は自然数とする。数学的帰納法を用いて,
$(n+1)(n+2)(n+3) \cdot \cdots \cdot (2k)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n-1)$
が成り立つことを証明せよ。

手品みたいな解法

【解法】
この等式を(A)とすると,
$n=1$ のとき,
左辺 : $1+1=2$ , 右辺 : $2^1\cdot1=2$
で成り立つ。
$n=k$ のとき, この等式
$\begin{array}{lll}&&(k+1)(k+2)(k+3) \cdot \cdots \cdot (2k)\\&=&2^k\cdot1\cdot3\cdot5 \cdot \cdots \cdot (2k-1)\end{array}$
が成り立つとすると,
$n=k+1$ のとき
(A)の(左辺)を考えると,
$\begin{array}{lll}&&(k+2)(k+3)(k+4) \cdot \cdots \cdot (2k)\cdot(2k+1)\cdot\left\{2\underline{(k+1)}\right\}\\&=&\underline{(k+1)(k+2)(k+3) \cdot \cdots \cdot (2k)}\cdot2(2k+1)\\&=&2^k\cdot1\cdot3\cdot5 \cdot \cdots \cdot (2k-1)\cdot\underline{2}(2k+1)\\&=&2^{k+1}\cdot1\cdot3\cdot5 \cdot \cdots \cdot (2k+1)\\&=&2^{k+1}\cdot1\cdot3\cdot5 \cdot \cdots \cdot \left\{2(k+1)-1\right\}\end{array}$
よって, $n=k+1$ のときも成り立つ。
以上より, すべての自然数 $n$ について(A)が成り立つ。

まず上の1行目の下線部の $(k+1)$ は先頭に移動する。すると2行目の下線部の式は, 問題の等式の右辺と置き換えができて, 3行の下線部の2は先頭の $2^k$ とくっつき $2^{k+1}$ に変身するという手品みたいな技。こんな風に数学にも手品？のような技があったのでした。