高校数学：2次曲線：楕円の接線が直交するとき(横浜国立大)

こんにちは。有名問題の類題です。計算力がいりますね？早速どうぞ。解いたあとは関連記事も参考に。

横浜国立大学

【問題】 $xy$ 平面上に楕円 $C : \dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ がある。次の問いに答えよ。
(1) 点 $\text{P}( a, b )$ を通る $C$ の接線が2本あり, それらが直交するとき, $a, b$ がみたす条件を求めよ。
(2) $C$ に外接する長方形のうち, $x$ 座標が1で $y$ 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ。
【横浜国立大】