高校数学：整式：整式の決定問題(群馬大)

こんにちは。力ずくでも解けますが, それ以外の方法で解いてみましょう。

群馬大学

【問題】整式 $f(x)$ を3次式とする。 $f(x)+2x+2$ が $(x+1)^2$ で割り切れ, $f(x)-2x-2$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき, $f(x)$ を求めよ。
【群馬大】

解答・解説

【解答・解説】
問題より,
$f(x)+2x+2=(x-1)^2(ax+b)\tof(x)=(x-1)^2(ax+b)-2x-2\cdots\maru1$
$f(x)-2x-2=(x+1)^2(cx+d)\tof(x)=(x+1)^2(cx+d)+2x+2\cdots\maru2$
$\maru1$ を $(x+1)^2$ で割った余りと, $\maru2$ を $(x+1)^2$ で割った余りが等しいことに着目して問題を解いていく。
$\maru1$ より,
$\begin{array}{lll}(x-1)^2(ax+b)-2x-2&=&\left\{(x+1)^2-4x\right\}(ax+b)-2x-2\\&=&(x+1)^2(ax+b)-4x(ax+b)-2x-2\\&=&\underline{(x+1)^2(ax+b)}-4ax^2+(-4b-2)x-2\end{array}$
ここで, 下線部は $(x+1)^2$ で割り切れるので,
$-4ax^2+(-4b-2)x-2$ を $(x+1)^2$ で割った余りを求めると,
$(8a-4b-2)x+4a-2$ である。
この余りが, $\maru2$ 式を $(x+1)^2$ で割った余りと等しい。その余りは, $2x+2$ であるから, 係数比較すると,
$8a-4b-2=2$
$4a-2=2$
これを解くと, $a=b=1$
したがって, これを $\maru1$ に代入して,
$f(x)=(x-1)^2(x+1)-2x-2=x^3-x^2-3x-1$
よって,
$f(x)=x^3-x^2-3x-1\cdots$ (答え)
【別解】
$\maru1$ , $\maru2$ の式を展開して, 係数比較しても求めることが可能である。
このとき, $a=b=c=1$ , $d=-3$ となる。詳細は割愛する。

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