高校数学:対数の大小関係

こんにちは。今回は対数の大小関係について書いておきます。例題を見ながら行きましょう。

対数の大小関係

【例①】\log_38, \log_3 5, 2の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】底をそろえて真数部の大小を考える。
この場合, 底を3にそろえて,
2=\log_3 3^2=\log_39
底が1より大きいので,
\log_3 5<\log_3 8<\log_3 9
したがって, \log_3 5<\log_3 8<2
【例②】2\log_{\frac13}4, -2, \log_{\frac13}5
【解法】底をそろえて真数部の大小を考える。底が1より小さいことに気を付ける。
2\log_{\frac13}4=\log_{\frac13}4^2=\log_{\frac13}16
-2=\log_{\frac13}\left(\dfrac13\right)^{-2}=\log_{\frac13}9
底が1より小さいので,
\log_{\frac13}16<\log_{\frac13}9<\log_{\frac13}5
したがって,
2\log_{\frac13}4<-2<\log_{\frac13}5

対数の大小関係

aをそろえて考える。
\textcircled{\scriptsize 1} a>1のとき, y=\log_a xは単調増加のグラフなので,
xの値が大きければyの値も大きい。
したがって, 0<p<q\longleftrightarrow\log_a p<\log_a q
\textcircled{\scriptsize2} 0<a<1のとき,y=\log_a xは単調減少のグラフなので,
xの値が大きければyの値は小さい。
したがって, 0<p<q\longleftrightarrow\log_a p>\log_a q

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