高校数学:対数とその性質

こんにちは。今回は対数の性質とその証明について書いておきます。

対数の性質
a>0, b>0, c>0, M>0, N>0, a\neq1, c\neq1とすると,
\textcircled{\scriptsize 1} \log_a{a}=1
\textcircled{\scriptsize 2} \log_a{1}=0
\textcircled{\scriptsize 3} \log_a M^p=p\log_a M 【p乗⇔p倍】
\textcircled{\scriptsize 4} \log_a MN=\log_a M+\log_a N 【積⇔和】
\textcircled{\scriptsize 5} \log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N 【商⇔差】
\textcircled{\scriptsize 6} \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 【底の変換公式】
特にc=bなら, \log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}
が成り立つ

まず, 対数の定義のおさらい。
a>0, a\neq1, M>0において, a^x=M\Longleftrightarrow x=\log_a M
を定義する
対数の性質の証明
\textcircled{\scriptsize 1} \log_a{a}=1
対数の定義 x=\log_a Mにおいて, x=1とすると,
1=\log_a M
つまり, M=a^1=aとなるので,
\log_a a=1となる。


\textcircled{\scriptsize 2} \log_a{1}=0
対数の定義 x=\log_a Mにおいて, x=0とすると,
0=\log_a M
つまり, M=a^0=1となるので,
\log_a 1=0となる。


\textcircled{\scriptsize 3} \log_a M^p=p\log_a M 【p乗⇔p倍】
対数の定義x=\log_a Mから,
M=a^xとして, 両辺p乗すると,
M^p=a^{px}
ここで, 底をaとする対数をとると,
\log_a M^p=\log_a a^{px}
\log_a M^p=px
先の定義よりx=\log_a Mなので,
\log_a M^p=p\log_a M


\textcircled{\scriptsize 4} \log_a MN=\log_a M+\log_a N 【積⇔和】
\log_a M=x, \log_a N=yとすると,
M=a^x, N=a^yとなる。
このとき,
\begin{array}{lll}\log_a MN&=&\log_a a^x\cdot a^y\\&=&\log_a a^{x+y}\\&=&x+y\\&=&\log_a M+\log_a N\end{array}


\textcircled{\scriptsize 5} \log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N 【商⇔差】
\log_a M=x, \log_a N=yとすると,
M=a^x, N=a^yとなる。
このとき,
\begin{array}{lll}\log_a \dfrac{M}{N}&=&\log_a \dfrac{a^x}{a^y}\\&=&\log_a a^{x-y}\\&=&x-y\\&=&\log_a M-\log_a N\end{array}


\textcircled{\scriptsize 6} \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 【底の変換公式】
対数の定義より, a^x=b\Longleftrightarrow x=\log_a bであるから,
a^x=bの両辺に底をcとする対数をとると,
\log_c a^x=\log_c b
x\log_c a=\log_c b
x=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
定義より, x=\log_a bなので, これで置き換えると,
\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
また, このとき, c=bとすると,
\begin{array}{lll}\log_a b&=&\dfrac{\log_b b}{\log_b a}\\&=&\dfrac{1}{\log_b a}\end{array}
が成り立つ。

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