高校数学:log_2(5)が無理数である証明

こんにちは。今回は\log_2{5}が無理数であることの証明を書いておきます。背理法を用いる証明ですので, 興味の湧く方はトライしてみてください。

背理法で矛盾を示す

【問】\log_2{5}が無理数であることを証明せよ。
【解法】\log_2{5}=\dfrac{n}{m} (m, nは互いに素)と表せるとします。
このとき, 2^{\frac{n}{m}}=5となるので, 両辺m乗すると,
2^n=5^m
となるが, これは左辺が偶数で, 右辺が奇数になることを意味するので,
等号が成立せず矛盾する。
したがって, はじめに\log_2{5}=\dfrac{n}{m}としたことが誤りである。
よって, \log_2{5}は無理数である。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)