TikZ:高校数学:指数と対数の関係・対数とは

こんにちは。今回は指数と対数について書いておきます。

指数と対数・対数とは

対数とは
a^x=Mとある場合, この式の意味を言葉で書くと,
ax乗がMである。
となります。
指数のところでaのことを底と呼んでいましたが, 対数の分野でもそれは同じです。Mの真数といい, xのことを対数といいます。
具体例で行くと, 2をx乗すると8になるという言葉を式に書くと,
2^x=8
となります。このとき, 対数xの値は3となります。
つまり, 底を2としたときの8の対数は3になると言えます。
ちなみに, 底を5としたときの25の対数は2になります。


それでは, 2をx乗して5になるということを考えてみます。
つまり,
2^x=5
を満たすxの値を求めることを考えるのですが, この値は\sqrt3(2乗して3になる数)を考えるのと同じで, 存在しません(証明はこちら)。そこで, 対数を表す数学記号\logを用いて求めることにします。
2^x=5の両辺を底を2とした対数\log_2をとると
\log_2{2}^x=\log_2{5}
x=\log_2{5}
となります。
ちなみに, この\log_2{5}の値を電卓で計算すると,
\log_2{5}=2.321928095\cdots
つまり
2^{\log_2{5}}=2^{2.321928095\cdots}=5
底を2としたときの5の対数は\log_2{5}ということです。
指数関数y=2^xでどのあたりにあるか確認してみましょう。

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対数
a>0, a\neq1で, M>0とするとき,
M=a^x\Longleftrightarrow x=\log_a{M}(対数の定義)
aを何乗したらMになるか表した数xを対数と言います。
言い換えると, 底をaとしたときのMの対数をx, と言えます。


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