高校数学:累乗根の大小関係2(底が異なる)

こんにちは。今回は累乗根の大小関係2ということで書いておきます。今回は底が異なる場合の大小関係について書いておきます。例題を見ながら行きましょう。底がそろう場合はこちらを参照ください。

底が異なる数の大小

【例題】2^{15}, 7^5, 3^{10}の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】底が異なるときは, 指数部をそろえて考えます。
この場合, 最低の指数の数は5なので, すべて5乗にそろえます。
すると,
2^{15}=\left(2^3\right)^5=8^5
3^{10}=\left(3^2\right)^5=9^5
よって,
7^5<8^5<9^5
つまり, 7^5<2^{15}<3^{10}\cdots(答)

底の異なる数の大小関係
累乗の指数部を最小値の指数にそろえてから比べる。

底が異なる累乗根の大小

【例題】\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[12]{21}の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】\sqrt[3]{2}=2^{\frac13}, \sqrt[4]{3}=3^{\frac14}, \sqrt[12]{21}=21^{\frac{1}{12}}とし,
指数部が整数になるように, 指数部に3, 4, 12の最小公倍数の12をかけます(すべて12乗して考える)。
すると,
2^{\frac13\cdot12}=2^4=16
3^{\frac14\cdot12}=3^3=27
21^{\frac{1}{12}\cdot12}=21^1=21
となり, 16<21<27であるから,
2^{\frac13}<21^{\frac{1}{12}}<3^{\frac14}
ゆえに,
\sqrt[3]{2}<\sqrt[12]{21}<\sqrt[4]{3}\cdots(答)

底の異なる累乗根の大小関係
指数部が整数になるように, 指数部の分母の最小公倍数だけ, それぞれにかけて, 整数に直して考える。


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