TikiZ:高校数学:累乗根の大小関係(底がそろう)

こんにちは。今回は累乗根の大小関係について書いておきます。今回は底がそろう場合ですが, 底が異なる場合はこちらを参照ください。

累乗根の大小関係

累乗根の大小関係は, 底をそろえて, 指数部分の大小関係で決着させることが多い。
aが1より大きいとき, すなわち, a>1の場合,
a^p<a^q\hspace{2mm}(p<q)
が成り立つ。このことは, 以下のグラフからもわかる。

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aが0と1の間にあるとき, すなわち, 0<a<1の場合,
a^p>a^q\hspace{2mm}(p<q)
が成り立つ。このことは, 以下のグラフからもわかる。

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累乗根の大小関係
\textcircled{\scriptsize 1}aが1より大きいとき, すなわち, a>1の場合,
a^p<a^q\hspace{2mm}(p<q)\Longrightarrow指数部の大小と元の数の大小関係が一致する。
\textcircled{\scriptsize 2}aが0と1の間にあるとき, すなわち, 0<a<1の場合,
a^p>a^q\hspace{2mm}(p<q)\Longrightarrow指数部の大小と元の数の大小関係が逆になる。

以上のことをふまえて例題を見てみましょう。

累乗根の大小関係の例題

【例題】\sqrt{5}, \sqrt[3]{25}, \sqrt[5]{125}の大小関係を調べ, 不等号を用いて表せ。
【解法】底を5でそろえると,
\sqrt5=5^{\frac12}, \sqrt[3]{25}=5^{\frac23}, \sqrt[5]{125}=5^{\frac35}
底5は1より大きいので, 指数部の大小関係と, 元の数の大小関係は一致するので, 指数部を比べると, \dfrac12<\dfrac35<\dfrac23なので,
5^{\frac12}<5^{\frac35}<5^{\frac23}
よって,
\sqrt{5}<\sqrt[5]{125}<\sqrt[3]{25}
【例題】\left(\dfrac23\right)^{-2}, \left(\dfrac23\right)^{-3}, \left(\dfrac23\right)^{2}の大小関係を調べ, 不等号を用いて表せ。
【解法】底が0と1の間の数なので, 指数部の大小関係と逆の関係が元の数の大小関係になるので, 指数部を比べると, -3<-2<2なので, 元の数の大小関係はその逆になる。
よって,
\left(\dfrac23\right)^{2}<\left(\dfrac23\right)^{-2}<\left(\dfrac23\right)^{-3}

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