TikZ：高校数学：指数関数とグラフ

2021年4月30日2022年5月3日

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こんにちは。今回は指数関数とグラフについてです。

指数関数とグラフ

指数関数のグラフについて

$a>0, a\neq1$ のとき, $y=a^x$ のことを, $a$ を底とする指数関数という。
$\textcircled{\scriptsize 1}\hspace{2mm}a>1$ (底が1より大きい)のとき, 右上がりの曲線
$\textcircled{\scriptsize 2}\hspace{2mm}0<a<1$ (底が0と1の間の数)のとき, 右下がりの曲線
となる。このとき, $\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}$ とも $x$ 軸が漸近線である。
漸近線とは, 十分遠くで曲線との距離が0に近づき, かつ曲線と一致しない直線のことを指す。

グラフを描いて概形を捉えよう。 $y=2^x$ を描いてみると, 以下のようになります。このとき, 漸近線とグラフが接してはなりません。

次は $y=\left(\dfrac12\right)^x$ を描いてみると, 以下のようになります。このとき, 漸近線とグラフは接してはなりません。

ちなみにこの2つのグラフ $y=2^x$ と $y=\left(\dfrac12\right)^x$ は, $y$ 軸について対称になっています。

グラフを描くコツ

グラフを描くときは $x=0$ のとき, $y=1$ となるので, 点(0, 1)を通ることに注目。また, $x=1$ のとき, $y=a$ が成り立つので, $(1, a)$ の点をとる。ただ, $0<a<1$ なら, $x=1$ のとき, $y$ の値が小さくなるので, 描きにくいという場合は, $x=-1$ として, $a$ (底)の逆数をとってもいいでしょう。つまり, (0, 1)と(1, $a$ )または, ( $-1$ , $a^{-1}$ )をとって, 漸近線に当たらないように滑らかにグラフを描けばいいことになります。

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