高校数学：有理数の指数

こんにちは。今回は $n$ 乗根など有理数(分数)の指数について書いておきます。

指数の決まり

$a>0$ で, $m, n$ を自然数とするとき,
$\begin{array}{clcl} \textcircled{\scriptsize 1}&a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}&\textcircled{\scriptsize 2}&a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \end{array}$
と定義する。

【例】
$4^{\frac12}=\sqrt[2]{4}=\sqrt{4}=2$
$27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$
$(-8)^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{-8}\right)^2=(-2)^2=4$

指数法則(指数が有理数の場合)

指数法則

指数部が有理数の場合, 次の法則が成り立つ。
$a\neq0, b\neq0, p, q$ を有理数とすると,
$\begin{array}{clcl} \textcircled{\scriptsize 1}&a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}&\textcircled{\scriptsize 2}&a^p\times a^q=a^{p+q}\\ \textcircled{\scriptsize 3}&a^p\div a^q=a^{p-q}&\textcircled{\scriptsize 4}&(a^p)^q=a^{pq}\\ \textcircled{\scriptsize 5}&(ab)^p=a^{p}b^{p}&\textcircled{\scriptsize 6}&\left(\dfrac{a}{b}\right)^p=\dfrac{a^p}{b^p}\\ \end{array}$
が成り立つ。

【例】
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 1}\hspace{2mm}9^{-\frac32}&=&\dfrac{1}{9^{\frac32}}\\&=&\dfrac{1}{(\sqrt{9})^3}\\&=&\dfrac{1}{3^3}\\&=&\dfrac{1}{27}\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 2}\hspace{2mm}3^{\frac35}\times3^{\frac25}&=&3^{\frac35+\frac25}\\&=&3^1\\&=&3\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 3}\hspace{2mm}6^{\frac{7}{3}}\div6^{\frac13}&=&6^{\frac73-\frac13}\\&=&6^2\\&=&36\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 4}\ \left(3^{\frac23}\right)^6&=&3^{\frac23\cdot6}}\\&=&3^4\\&=&81\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 5}\ \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}\right)^6&=&\left(\dfrac{1}{7^{\frac13}}\right)^6\\&=&\dfrac{1}{7^{\frac13\cdot6}}\\&=&\dfrac{1}{7^2}\\&=&\dfrac{1}{49}\end{arry}$

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