高校数学：n乗根の決まりと性質

こんにちは。 $n$ 乗根の計算に触れておきます。ここでは以下の決まりにしたがって, 解答してみます。

累乗根の決まりと性質

正の数 $a$ の $n$ 乗根は $n$ 回かけると $a$ にもどるので, 次の決まりが成り立ちます。
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a$ 　(ただし, $a>0$ )
$a>0, b>0$ で, $m, n$ を自然数とすると,
$\begin{array}{clcl} \textcircled{\scriptsize 1}&\sqrt[n]{\mathstrut a}\sqrt[n]{\mathstrut b}=\sqrt[n]{\mathstrut ab}&\textcircled{\scriptsize 2}&\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\\ \textcircled{\scriptsize 3}&\left(\sqrt[n]{\mathstrut a}\right)^m=\sqrt[n]{\mathstrut a^m}&\textcircled{\scriptsize 4}&\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\\ \end{array}$
が成り立つ。

累乗根の決まりと性質を用いた計算

【例】
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 1}\hspace{2mm}\sqrt[3]{4}\times\sqrt[3]{2}&=&\sqrt[3]{8}\\&=&\sqrt[3]{2^3}\\&=&2\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 2}\hspace{2mm}\dfrac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}&=&\sqrt[4]{\dfrac{243}{3}}\\&=&\sqrt[4]{81}\\&=&\sqrt[4]{3^4}\\&=&3\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 3}\hspace{2mm}(\sqrt[5]{3})^3&=&\sqrt[5]{5^3}\\&=&\sqrt[5]{125}\end{arry}$
$\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 4}\hspace{2mm}\sqrt{\sqrt[3]{3}}&=&\sqrt[2\times3]{3}\\&=&\sqrt[6]{3}\end{arry}$

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