高校数学:n乗根の決まりと性質

こんにちは。n乗根の計算に触れておきます。ここでは以下の決まりにしたがって, 解答してみます。

累乗根の決まりと性質

累乗根の決まりと性質
正の数an乗根はn回かけるとaにもどるので, 次の決まりが成り立ちます。
\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a (ただし, a>0)
a>0, b>0で, m, nを自然数とすると,
\begin{array}{clcl} \textcircled{\scriptsize 1}&\sqrt[n]{\mathstrut a}\sqrt[n]{\mathstrut b}=\sqrt[n]{\mathstrut ab}&\textcircled{\scriptsize 2}&\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\\ \textcircled{\scriptsize 3}&\left(\sqrt[n]{\mathstrut a}\right)^m=\sqrt[n]{\mathstrut a^m}&\textcircled{\scriptsize 4}&\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\\ \end{array}
が成り立つ。

累乗根の決まりと性質を用いた計算

【例】
\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 1}\hspace{2mm}\sqrt[3]{4}\times\sqrt[3]{2}&=&\sqrt[3]{8}\\&=&\sqrt[3]{2^3}\\&=&2\end{arry}
\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 2}\hspace{2mm}\dfrac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}&=&\sqrt[4]{\dfrac{243}{3}}\\&=&\sqrt[4]{81}\\&=&\sqrt[4]{3^4}\\&=&3\end{arry}
\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 3}\hspace{2mm}(\sqrt[5]{3})^3&=&\sqrt[5]{5^3}\\&=&\sqrt[5]{125}\end{arry}
\begin{array}{ccc}\textcircled{\scriptsize 4}\hspace{2mm}\sqrt{\sqrt[3]{3}}&=&\sqrt[2\times3]{3}\\&=&\sqrt[6]{3}\end{arry}

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