高校数学：数列：定期テスト対策・複雑な数列の和

2021年12月30日2022年4月25日

こんにちは。今回は複雑な数列の和をやっていきましょう。

複雑な数列の和の求め方

【例題】 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\cdot3^{k-1}$ の値を求めよ。

【解法】
求める値を $S$ とすると,
$S=1\cdot1+3\cdot3+5\cdot3^2+\cdots+(2n-1)\cdot3^{n-1}\cdots\maru1$
これを3倍する(公比を両辺にかける)と
$3S=1\cdot3+3\cdot3^2+\cdots+(2n-3)\cdot3^{n-1}+(2n-1)\cdot3^n\cdots\maru2$
$\maru1-\maru2$ を行うと,
$\begin{array}{cccccccccccccc}&S&=&1\cdot1&+&3\cdot3&+&5\cdot3^2&+&\cdots&+&(2n-1)\cdot3^{n-1}&&\\-)&3S&=& & &1\cdot3&+&3\cdot3^2&+&\cdots&+&(2n-3)\cdot3^{n-1}&+&(2n-1)\cdot3^n\\\hline&-2S&=&1\cdot1&+&2\cdot3&+&2\cdot3^2&+&\cdots&+&2\cdot3^{n-1}&-&(2n-1)\cdot3^n\cdots\maru3\\\end{array}$
$\maru3$ より
$\begin{array}{lll}-2S&=&1\cdot1+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots+2\cdot3^{n-1}-(2n-1)\cdot3^n\\&=&1+2\left(3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)-(2n-1)\cdot3^n\\&=&1+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k-(2n-1)\cdot3^n\\&=&1+2\cdot\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)\cdot3^n\\&=&1+(3^n-3)-(2n-1)\cdot3^n\\&=&(-2n+2)\cdot3^n-2\end{array}$
両辺 $-2$ で割って,
$S=(n-1)\cdot3^n+1\cdots$ (答)

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