高校数学:数学的帰納法・複雑な数列の和から得られた結果の考察

こんにちは。今回は複雑な数列の和から得られた結果が本当に8の倍数になるのか考察してみようと思います。

結果を検証してみよう

【問題】自然数をnとするとき, (4n-3)\cdot5^n+3が8の倍数になることを数学的帰納法を用いて表せ。

【解答】
n=1のとき,
(4\cdot1-3)\cdot5^1+3=5+3=8
で成り立つ。
n=kのとき,
(4k-3)\cdot5^k+3=8m (mは自然数)
が成り立つと仮定すると,
n=k+1のとき,
\begin{array}{lll}&&\left\{4(k+1)-3\right\}\cdot5^{k+1}+3\\&=&5(4k+1)\cdot5^k+3\\&=&5(4k-3+4)\cdot5^k+3\\&=&5(4k-3)\cdot5^k+3+20\cdot5^k\\&=&5(4k-3)\cdot5^k+15-12+20\cdot5^k\\&=&5\left\{(4k-3)\cdot5^k+3\right\}+20\cdot5^k-12\\&=&5\cdot8m+4(\underline{5\cdot5^k-3})\cdots\maru1\end{array}
ここで, \maru1の下線部は奇数-奇数なので偶数であるから,
4(5\cdot5^k-3)=8p (pは自然数)とおける。
よって, \maru1は,
5\cdot8m+8p=8(5m+p)
となり, これは8の倍数である。
したがって, n=k+1において成り立つ事が言える。
ゆえに, すべての自然数nについて成り立つ事が言える。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)