高校数学:指数関数と方程式

こんにちは。今回は指数関数を含む方程式について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

底をそろえて解く

【例①】2^x=8
【解法】底をそろえる。
底を2でそろえると, 2^x=2^3
指数部を比較して, x=3\cdots(答)
【例②】2^x=\dfrac{1}{16}
【解法】底を2または, \dfrac12でそろえる。
底を2でそろえると, 2^x=2^{-4},
よって, x=-4
底を\dfrac12でそろえると, \left(\dfrac12\right)^{-x}=\left(\dfrac12\right)^4
よって, -x=4より,
x=-4

指数関数を含む方程式
底をそろえて指数部を比較して解く。
このとき, 次の性質を用いる。
a>0, a\neq1のとき, a^x=a^pなら, x=p

底をそろえると二次方程式になる場合

続いての例題
【例③】方程式9^x-6\times3^x-27=0を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2なので, 底を3として式を書くと,
\left(3^x\right)^2-6\times3^x-27=0
3^x=t t>0とおくと,
t^2-6t-27=0
(t-9)(t+3)=0
t>0より,
t=9
t=3^xなので,
3^x=9
3^x=3^2
x=2\cdots(答)

指数関数を含む方程式
\textcircled{\scriptsize 1} 底をそろえてa^x=tとして, tの方程式をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} このとき, a^x>0なので, t>0に気を付けて方程式を解く。
\textcircled{\scriptsize 3} t=pなら, a^x=pなので, これより, xの値を求める。


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