高校数学:指数関数と不等式

こんにちは。今回は指数関数と不等式について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

底をそろえて解く

【例①】2^x<8
【解法】底をそろえる。
底を2でそろえると, 2^x<2^3
底が1より大きいので,
指数部を比較して, x<3\cdots(答)
【例②】\left(\dfrac12\right)^x\leqq\dfrac{1}{16}
【解法】底を\dfrac12でそろえる。
底を\dfrac12でそろえると, \left(\dfrac12\right)^{x}\leqq\left(\dfrac12\right)^4
\dfrac12が1より小さいので,
指数部を比較して, x\geqq4\cdots(答)
不等号の向きが変わるのは底を2にしてみるとわかる。
底を2にすると, 与式は
2^{-x}\leqq2^{-4}
底は1より大きいので,
-x\leqq-4
よって, x\geqq4\cdots(答)

指数関数を含む不等式
底をそろえて指数部を比較して解く。
このとき, 次の性質を用いる。
a>1のとき, a^x<a^pなら, x<p
0<a<1のとき, a^x<a^pなら, x>p

底をそろえると二次不等式になる場合

続いての例題
【例③】方程式9^x-6\times3^x-27>0を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2なので, 底を3として式を書くと,
\left(3^x\right)^2-6\times3^x-27>0
3^x=t t>0とおくと,
t^2-6t-27>0
(t-9)(t+3)>0
t>0より,
t>9
t=3^xなので,
3^x>9
3^x>3^2
x>2\cdots(答)
【例④】方程式9^x-7\times3^x-18\leqq0を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2なので, 底を3として式を書くと,
\left(3^x\right)^2-7\times3^x-18\leqq0
3^x=t t>0とおくと,
t^2-7t-18\leqq0
(t-9)(t+2)\leqq0
t>0なので, t+2>0より,
t-9\leqq0
t=3^xなので,
3^x-9\leqq0
3^x\leqq9
3^x\leqq3^2
底は1より大きいので,
x\leqq2\cdots(答)
【例⑤】方程式\left(\dfrac14\right)^x-3\left(\dfrac12\right)^x+2>0を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
\left(\dfrac14\right)^x=\left\{\left(\dfrac12\right)^2\right\}^x=\left\{\left(\dfrac12\right)^x\right\}^2なので, 底を\dfrac12として式を書くと,
\left\{\left(\dfrac12\right)^x\right\}^2-3\left(\dfrac12\right)^x+2>0
\left(\dfrac12\right)^x=t t>0とおくと,
t^2-3t+2>0
(t-1)(t-2)>0
t<1, t>2
t=\left(\dfrac12\right)^xなので,
\left(\dfrac12\right)^x<1, \left(\dfrac12\right)^x>2
\left(\dfrac12\right)^x<\left(\dfrac12\right)^0, \left(\dfrac12\right)^x>\left(\dfrac12\right)^{-1}
\dfrac12が1より小さいので,
x>0, x<-1\cdots(答)

指数関数を含む不等式
\textcircled{\scriptsize 1} 底をそろえてa^x=tとして, tの不等式をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} このとき, a^x>0なので, t>0に気を付けて不等式を解く。
\textcircled{\scriptsize 3} t>pなら, a^x>pなので, このようなことから, xの範囲を求める。
このとき, 底aが1より大きいとき, 1より小さいときで不等号の向きに気を付けること。


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